第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～53～ 第十章 静电场中的导体和电介质一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，讲授顺序可概括为以下五个方面： （1）导体的静电平衡； （2）电介质的极化规律； （3）电位移矢量和有介质时的高斯定理； （4）电容和电容器； （5）电容器的储能和电场的能量。

2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生确切理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡导体的基本性质； （2）使学生了解电介质极化的机构，了解极化规律；理解电位移矢量的定义和有介质时的高斯定理； （3）使学生正确理解电容概念，掌握计算电容器的方法。

（4）使学生掌握电容器储能公式，并通过电容器的储能了解电场的能量。

二、教学要求 1、掌握导体的静电平衡条件，明确导体与电场相互作用的大体图象； 2、了解电介质的极化规律，清楚对电极化强度矢量是如何定义的，明确极化强度由总电场决定，并且'=σθP cos ；3、理解电位移矢量的定义，注意定义式D E P =+ε0是普遍适用的，明确 D 是一个辅助矢量； 4、掌握有介质时的高斯定理； 5、掌握电容和电容器的概念，掌握电容器电容的计算方法； 6、了解电容器的储能和电场能量 三、内容提要 1、导体的静电平衡条件 （1）导体的静电平衡条件是导体内部场强处处为零。

所谓静电平衡，指的是带电体系中的电荷静止不动，因而电场分布不随时间而变化。

导体的特点是体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动从而改变电荷的分布。

电荷分布的改变又会影响到场的分布。

这样互相影响，互相制约，最后达到静电平衡。

（2）从导体的静电平衡条件出发，可以得出三个推论导体是个等势体，表面是个等势面；导体表面外侧的场强方向处处垂直于表面，并且有导体内部无净电荷，即电荷体密度，电荷只分布在导体表面。

；E =⎡⎣⎢⎢⎢⎢=σερ002、电介质的极化规律第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～54～电极化强度矢量被定义为P p V=∑∆即等于单位体积内电偶极矩的矢量和，它的大小：P ='σ，'σ为极化电荷面密度。

3、电位移矢量定义：普遍适用；引入目的：是使不直接出现而使高斯定理形式得到简化；与的关系：为只对线性电介质成立。

D E P ED E P r =+⇒=⇒⎡⎣⎢⎢⎢εεε004、有介质时的高斯定理（1）公式：D dS Q i i nS⋅==∑⎰()01（2）说明：D D D 的通量仅与面内包围的自由电荷有关；本身则由面内外全部电荷（包括极化电荷）产生；是个辅助矢量，没有什么直接的物理意义。

⎡⎣⎢⎢⎢（3）应用：可用于方便地处理电荷分布具有特殊对称性的带电体系的电场分布问题。

5、电容和电容器（1）电容定义：适用于孤立导体；意义：表明了使导体每升高单位电势所需要的能量；说明：电容仅与导体的尺寸和几何形状有关，而与该导体是否带电无关。

C Q V =⇒⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢（2）电容器定义：说明：电容器的电容也仅与两极板的尺寸、几何形状及相对位置有关，于无关。

；C Q V V q =-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢12（3）电容器的串联和并联串联：；并联：1111212C C C C C C =+=+⎡⎣⎢⎢⎢ 6、电容器的储能和电场能量（1）电容器储能：W Q C CU QU ===12121222，注意这个能量是储存在电场中的。

（2）电场的能量密度：ω=⋅12D E ，它表明了电场中单位体积内所储存的能量。

四、解题要求本章的主要解题要求是对于介质中高斯定理的应用。

应注意以下几个方面：1、首先应用介质中的高斯定理求出D ；第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～55～2、根据关系式D E r =εε0，求出总电场 E ；3、对电容器电容的计算也要按有关定义与步骤进行。

五、典型例题 例1、三平行板A 、B 、C ，面积为200cm 2。

A 、B 之间相距4mm ，A 、C 之间相距2mm ，B 、C 两板接地，见图10-1若使A 板带正电3.0×10-7C ，求：（1）B 、C 两板上的感应负电荷各为多少？（2）A 板电势为多大？解：（1）设B 板带电-Q 1 ，C 板带电-Q 2 ，见图10-2， 则 Q 1 +Q 2 =Q （1）又E Q S E Q S110220==εε,，U U E d E d Q S d QSd AB AC ==⇒=,1122101202εε于是得 Q d Q d 1122= （2）由式（1）与式（2）得C 100.2Q 2Q ,C 100.13100.33Q Q 712771---⨯==⨯=⨯==（2）V E d Q d S V A ===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯----111107312431010410885102001022610ε... 例2、设有两个同心薄导体球壳A 与B ，它们的半径分别为R 1 =10cm 与R 3 =20cm ，并分别带有电荷-4.0×10-8与 1.0×10-7。

球壳间有两层介质，内层介质的εr 14=，外层介质的εr 22=，其分界面的半径为R 2 =15cm ，球壳B 外的介质为空气。

求：（1）两球间的电势差U AB ；（2）离球心30cm 处的场强；（3）A 球的电势。

解：作示意图10-3（1）在介质εr 1中E Q rr 1011214=-πεε()； 在εr 2中E Q r r 2021214=-πεε()故U Q r dr Q r dr Q r r V ABr R R r R R r R R r R R =-+-=--+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎰⎰14144111160001120212101212231223πεεπεεπεεε()()()()（2）E Q Q r Vm=-+=⨯-14610012231πε （3）V U V Q Q r dr V A AB B R =+=-+-+=-+=∞⎰600146002700210001223πε 例3、一平板电容器有两层介质，相对介电常数分别为εr 14=和εr 22=，厚度分别为d 1C A B-Q 2E 图 10-2图10-3第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～56～ =2mm 和d 2 =3mm ，极板面积为S=50cm 2，两极板间电压为U=200V ，求：（1）每层介质中场强的大小；（2）每层介质中的电场能量密度及能量；（3）电容器的总能量。

解：如图10-4所示（1）因E 1 d 1 +E 2 d 2 =U （1）又D 1 =D 2 ，即εεr r E E 1122= 从而得E E r r 2121=εε （2）将（2）代入（1）得E d E d U r r 111212+=εε 故得E U d d Ud d V m r r r r r 11221112242510=+=+⎛⎝⎫⎭⎪=⨯εεεεε./同理可得E Ud d V m r r r 2211224510=+⎛⎝⎫⎭⎪=⨯εεε/（2）ωεεωεεe r e r E Jm E Jm 1011223202222312111101222110==⨯==⨯----.,. W d S J W d S J e e e e 111722271111033210==⨯==⨯--ωω.,.（3）W CU S d d U J e r r ==+=⨯-12124431020112227εεε. 六、课堂练习题 1、判断题 （1）在静电平衡情况下，金属导体上的所有电荷均应分布在导体的表面上。

（ ） （2）将一个带电小球与一个不带电的大球相接触，则小球上的电荷会有一半跑到大球上去。

（ ） （3）两个电容量不同的电容器，串联后接在电源上，则电容小的电容器上的电压降反而大。

（ ） （4）球形电容器充电后，电场中各点的能量密度均相等。

（ ）（5）电位移矢量D 的产生只与面内外的自由电荷有关，与束缚电荷无关。

（ ）2、填空题 （1）将一个半径为r ，带电量为q 小金属球与一个不带电的半径为R 的大金属球相接触，则静电平衡时小球与大球二者带电量之比为 。

（2）空气的击穿场强为3000千伏/米，则直径为 1.0厘米的导体球在空气中最多能带 库仑的电量。

（3）两个电容器的电容分别为C 1、C 2，串联后接在电源上，则它们所分得的电压之比为 。

d2图10-4第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～57～（4）一个耐压6V ，电容为100μF 的电容器，在电压为3V 的直流电源上充电后，它的带电量为q = 。

（5）电位移矢量 D ，电极化强度ρ与场强 E 三者之间的关系为 ，在线性介质中 D 与E 之间的关系为 。

3、单重选择题 （1）两个导体球A 、B 相距很远（可以看成是孤立的），其中A 球原来带电，B 球不带电；A 、B 两球半径不等，且R A >R B 。

若用一根细长导线将它们连接起来，则两球所带电量q A 与q B 间的关系： A 、q A >q B ；B 、q A =q B ；C 、q A <q B ；D 、条件不足，无法比较。

（2）如图10-5所示，先接通开关K ，使电容器充电，然后断开K ；当电容器板间的距离增大时，假定电容器处于干燥的空气中，则A 、电容器上的电量减小；B 、电容器两板间的场强减小；C 、电容器两板间的电压变小；D 、以上说法均不正确。

（3）如图10-6所示，使K 闭合，增大电容器两板间的距离，并假定电容器处于干燥的空气中则A 、电容器上的电量减小；B 、电容器两板间的电压减小；C 、电容器两板间的场强变大；D 、以上说法均不正确。

（4）把两个电容为C 1和C 2的电容器串联后进行充电（C C 12≠），然后断开电源，把它们改成并联，则并联后 A 、电容器组的静电能增加；B 、电容器组的静电能减少； C 、电容器两板间的场强减少；D 、以上说法均不正确。

（5）将平行板电容器的两极板接上电源，以维持其间电压不变，用相对介电常数为εr 的均匀电介质填满极板间，则下列说法哪种正确？ A 、极板间电场增大为原来的εr 倍；B 、极板上的电量不变； C 、电容增大为原来的εr 倍；D 、以上说法均不正确。

七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P 64—108 2、作业：P 114 10-1，10-3，10-5，10-11，10-13，10-18。

3、提示：10-5、两极板间电压U AB =Ed ，故两极板之间的距离d ==⨯-耐压击穿场强222104.m又C Sdr =εε0，于是得S Cdr=εε0。

C ε K图10-5C ε K图10-6第十章 大学物理辅导 静电场中的导体和电介质～58～ 代入数据后可得 S=0.627m 2 10-18、见图10-7所示（1）D E ,均为球对称，方向矢径向外。