• 将 wE 1 wD带入上式，我们有：
2 2 2 2 2 2 P wD ( D E 2 E D ) wD (2 E 2 E D ) E
• 显然，组合的最小方差为：
2 2 D E (1 2 ) 2 2 D E 2 E D 2 P
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7-26
图 7.7 债券和股权基金的投资可行集、最优资本配 置线和最优风险资产组合
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7-27
夏普比率
• 使资本组合P的资本配置线的斜率最大化。 • 斜率的目标方程是:
E ，则取 wD 可以使得组合方差=0。 E D
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7-17
图7.4 组合标准差关于投资比例的函数
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7-18
最小方差组合
• 最小方差组合由具有最 小标准差的风险资产组 成，这一组合的风险最 低。（求解一个简单的 优化问题得到相应的权 重—在前文中，等价于 求解一个一元二次方 程。） • 当相关系数小于 +1时， 资产组合的标准差可 能小于任何单个组合 资产。 • 当相关系数是 -1时， 最小方差组合的标准 差是0.
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7-8
两个资产构成的资产组合: 收益
rp rP
Portfolio Return 资产组合的收益率
wr
D
D
wE r E
wD Bond Weight 债券的权重 rD Bond Return 债券的收益率 wE Equity Weight 股票的权重 rE Equity Return 股票的收益率
1. 风险资产与无风险资产之间的资本配置 2. 各类资产间的配置 3. 每类资产内部的证券选择
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7-3
分散化与组合风险
• 市场风险(market risk)
– 系统性风险(systematic risk)或不可分散 风险(diversifiable risk) – 宏观经济的变动，监管政策的变动(印花 税调整)，
也就是 1 2 0 。
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7-14
相关系数的影响:其他条件不变时
2 2 2 2 2 w w • 因为 P E E D D 2wE wD E D • 当 ρDE = 1, 组合方差最大，
• 当 ρDE = -1, 完全对冲，组合方差最小。
7-13
相关系数: 可能的值
• | | 1 的证明： 2 2 t 2Y 2t X Y 0 • 由于 Var( X tY ) X • 所以关于 t 的一元二次函数的最小值应该 0 ， 于是有：4 4 0
2 Y 2 X 2 2 4 Y 2 Y 2 X
第七章
最优风险资产组合
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7-2
投资决策
• 决策过程可以划分为自上而下的3步:
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7-6
图 7.2 组合分散化
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7-7
协方差和相关性
• 投资组合的风险取决于投资各组合中资 产收益率的相关性。 • 协方差和相关系数提供了衡量两种资产 收益变化的方式。
P
2 P
P
f
2 P
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7-30
图 7.8 决定最优组合
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7-31
马科维茨资产组合选择模型
• 将前述讨论推广到风险资产组合包含多个 风险资产的情形，就是马科维茨模型(The Markowitz Model). • 证券选择 – 第一步是决定风险收益机会。 – 最小方差边界上最小方差组合上方的点 提供最优的风险和收益。 – 最小方差边界又叫做有效前沿(Efficient Frontier)。
7-34
图 7.11 风险资产有效边界和 最优资本配置线
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7-35
资本配置和分离特性
• 分离特性（Separation Property）阐明组 合决策问题可以分为两个独立的步骤。 – 决定最优风险组合，这是完全技术性的 工作。 – 整个投资组合在无风险短期国库券和风 险组合之间的配置，取决于个人偏好。
三种资产的组合
• 步骤：先给出最优的风险资产组合，再基 于第六章的效用最大化模型来得到无风险 资产和风险资产组合之间的最优比例。 • 思路：先从图形上得到启发，再来进行计 算。
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7-25
图 7.6 债券和股权基金的投资可行集和两条资本配置线
• 公司特有风险(firm-specific risk)
– 可分散风险或非系统风险 – 重庆啤酒乙肝疫苗研发结果
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7-4
图7.1 组合风险关于股票数量的函数
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7-5
风险分散
SP
E (rP ) rf
P
• 这个斜率就是夏普比率。
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7-28
夏普比率
• 根据风险组合的期望收益和方差的表达式， 我们将这些表达式带入上述夏普比率。 • 运用标准的微积分函数极值的求解方法， 很容易得到风险资产的最优比例：
2 E[rD ] E E[rE ] D E wD 2 2 E[rD ] E E[rE ] D ( E[rD ] E[rE ]) D E
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7-20
图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数
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7-21
图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数
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7-22
E = 基金E收益率的标准差
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7-12
相关系数: 可能的值
值的范围
+ 1.0 > > -1.0
如果 = 1.0, 资产间完全正相关 如果 = - 1.0, 资产间完全负相关
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7-32
图7.10 风险资产的最小方差边界
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7-33
马克维茨资产组合选择模型
• 现在，我们寻找报酬-波动性比率（即夏 普比率）最高的资本配置线。
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及
2 E E D wD 2 2 D E 2 E D
可以看到：
E 若 1 ，则取 | E D | 可以使得组合方差=0，这个 权重可能大于1（如果 E D 或者 D 2 E ，但是后者一
wD
般不会发生），这意味着卖空股票。
• 若 1
• 左图：如果所有风险都是公司特有的，那 么我们可以通过完全的分散化投资将组合 风险降到0(大数定律)，但是这是不可能 的。。。(反直观) • 右图：存在市场风险时，即使完全的分散 化也不能消除风险。学术界的实证结果支 持了这幅图的观察：纽约证券交易所的数 据表明：组合收益的标准差随着证券数量 的增多由49.2%最终降到了19.2%
7-23
三种资产的组合
• 第六章研究了无风险资产和一个风险组合 之间的最优组合。（需要给定风险组合的 期望和方差） • 本章前面内容研究了两个风险资产之间的 最优组合。 • 现在考虑两个风险资产和一个无风险资产 的最优组合。
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7-24

2 E
= 基金E的方差
CovrD , rE = 基金D和基金E收益率的协方差
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7-10
两个资产构成的资产组合: 风险
• 组合方差的另一种表达方式:
2 P wD wDCov(rD , rD ) wE wE Cov(rE , rE ) 2wD wE Cov(rD , rE )
E (rp ) wD E (rD ) wE E (rE )
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7-9
两个资产构成的资产组合: 风险
2 2 2 2 2 p wD D wE E 2wD wECovrD , rE
2 D = 基金D的方差
相关效应
• 资产相关性越小，分散化就更有效，组合风 险也就越低。 • 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性 也在增大。