定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。

由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。

可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。

本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。

可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x)()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。

例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。

解 所求的总产量为dt t Q Q ⎰'=05)( 650)150200()600400(|)640()1220(1052105=+-+=+=+=⎰t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。

假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。

解 总成本函数为)0()2100()(0c dt t x c x++=⎰=10001002++x x总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 10004002--x xL '= 400- 2x 令L '= 0, 得x= 200因为L '' ( 200) < 0所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。

最大利润为L( 200)=400 ⨯200-2200-1000=39000( 元) 。

例4 某企业生产x 吨产品时的边际成本为30501)(+='x x c ( 元/ 吨) 。

且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低? 解： 首先求出成本函数 900301001900)30501()()(2000++=++=+'=⎰⎰x x dx x c dx x c x c x x , 得平均成本函数为 xx x x c x c 900301001)()(++== 求一阶导数 29001001)(x x c -=' 令0='c , 解得3001=x (2x = - 300 舍去) 。

因此, c ( x) 仅有一个驻点1x = 300, 再由实际问题本身可知c ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。

例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t 的追加成本和增加收益分别为 2323//()62()18C t tR t t =+=-（百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？解： 有极值存在的必要条件 //()()0R t C t -=，即 223318(62)0t t --+=可解得 t=8 132////3////24()()33()()0R t C t t t R t C t ---=---<故*t =8时是最佳终止时间，此时的利润为 2233538//08080[()()]20[(18)(62)]209(12)|20538.42018.4L R t C t dt t t dt t t =--=--+-=--=-=⎰⎰因此最大利润为18.4百万元4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P 的单调递减函数。

同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P 的单调递增函数。

由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=)(1Q f -与P= )(1Q g -, 此时函数P=)(1Q f -也称为需求函数, 而P=)(1Q g -也称为供给函数。

需求曲线(函数) P=)(1Q f -与供给曲线(函数) P=)(1Q g -的交点A( P* , Q* )称为均衡点。

在此点供需达到均衡。

均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。

如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。

假设消费者以较高价格P= )(1Q f -购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q+Q ∆]内消费者消费量近似为Q Q f ∆-)(1, 故消费者的总消费量为dQ Q f Q )(*01⎰-,它是需求曲线P=)(1Q f -在Q 与Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap 的面积, 如图如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为**0)(*Q p dQ Q f Q -'⎰它是曲边三角形1*AP P 的面积。

如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1Q g P -=出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。

同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, dQ Q g Q ⎰-*01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为dQ Q g Q P Q )(*01**⎰-- 它是曲边三角形*0Ap p 的面积。

例6 设某产品的需求函数是P=Q 2.030-。

如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。

解 已知需求函数P=Q Q f 2.030)(1-=-,首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令Q 2.030- = 10, 得Q* = 10000。

于是消费者剩余为**01)(*Q P dQ Q f Q -⎰- = 1000010)2.030(10000⨯--⎰dQ Q =(30Q-)15223Q 100000|100000- =66666.67(元)。

例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 012Q , 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。

解 首先求出对应于*p = 425 的*Q 的值,令425= 250+ 3Q + 0. 012Q , 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为dQ Q g Q p Q )(*01**⎰-- =dQ Q Q )01.03250(504252500++-⨯⎰ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++-⨯323101.023*********Q Q 500|=4583.339(元)。

5 利用定积分决定广告策略问题例8 某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线t e 02.06101⨯⨯( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为5103.1⨯美元的广告活动. 按惯例, 对于超过6101⨯美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。

试问该公司按惯例是否应该做此广告? 解 由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分即总销售额= |12002.012002.002.010000001000000t t e dt e =⎰ =135600015000000024.0≈-e ( 美元)公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是 156000)1200000013560000(10.0=-⨯(美元)156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的, 因此, 广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元) 这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。

6 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r计息, 从而总现值y=dt e t f rt T -⎰0)(。

例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为 Y=)1(0rt T rt e r a dt ae ---=⎰从而投资所获得的纯收入的贴现值为 A e r a A y R rT )1(--=-=( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。

由A e r a rT =--)1(得T =Ar a a r -ln1 即收回投资的时间为T=Ara a r -ln 1例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为05.0800200200ln 05.01⨯-=T =25.1ln 2046.4≈( 年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.例10 有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值) .解 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现dt ae y rt ⎰+∞-=0=dt e t ⎰+∞-005.02000=dt e Lim b t b ⎰-∞+005.02000 =[]b b e Lim 05.0105.02000-∞+- =05.012000⨯ =40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.例11� 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A 元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式得50000)10(02.0100=-⎰dt e A t 又02.012.0100)10(02.0-=⎰-Ae dt Ae t得4517102.0500002.0≈-⨯=e A (元)。