PINGDINGSHAN UNIVERSITY院系 : 经济与管理学院题目 : 定积分在生活中的应用年级专业: 11级市场营销班学生姓名 : 天鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<<<<=,把区间[],a b 分成n 个小区间[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。
②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,,i n =）， ③作出和 ()1ni i i S f x ξ==∆∑。
记{}12max ,,,n P x x x =∆∆∆作极限()01lim ni i P i f x ξ→=∆∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()ba f x dx ⎰，即()baf x dx ⎰=I =()01lim ni iP i f x ξ→=∆∑,其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。
2．定积分的性质设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且性质1 ()b a kf x dx ⎰=()ba k f x dx ⎰;性质2 ()()ba f x g x dx +⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰+()ba g x dx ⎰()()ba f x g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰=()ba f x dx ⎰-()ba g x dx ⎰. 性质3 定积分对于积分区间的可加性设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()ca f x dx ⎰=()ba f x dx ⎰+()cb f x dx ⎰。
性质 4 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1ba dx ⎰=ba dx ⎰=b a -。
性质 5 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()ba f x dx ⎰≥0()ab <。
性质 6 如果在],[b a 上,M x f m ≤≤)(,则⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(性质 7（定积分中值定理）如果)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存一点ξ使得 ⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ3．定理定理1 微积分基本定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()x φ=()xa f t dt ⎰在[],ab 上可导,并且它的导数是 ()'x φ=()xad f t dtdx⎰=()f x ()a x b ≤≤.定理 2 原函数存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()x φ=()xa f t dt ⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数.定理3 如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数, 则 ()ba f x dx ⎰=()()Fb F a -称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数)(x f 和)(x g 满足条件)(x g ≤)(x f ，∈x ],[b a ．求曲线=y )(x f ，=y )(x g 及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积S ．（如图1） 解法步骤：第一步：在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([x g x f -为高，以dx 为底的矩形面积近似，于是dx x g x f dS )]()([-=．第二步：在区间],[b a 上将dS 无限求和，得到⎰-=ba dx x g x f S )]()([.（2）上面所诉方法是以x 为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y 作为积分变量进行微元，再求围成的面积。
由连续曲线)(y x ϕ=、)(y x ψ=其中)()(y y ψϕ≥与直线c y =、d y =所围成的平面图形（图2）的面积为：⎰-=dc dy y y S )]()([ψϕ例1 求由曲线x y sin =，x y cos =及直线0=x ，π=x 所围成图形的面积A ．解 （1）作出图形，如图所示．易知，在],0[π上，曲线x y sin =与x y cos =的交点为)22,4(π；图2（2）取x 为积分变量，积分区间为],0[π．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；（3）区间]4,0[π上这一部分的面积1A 和区间],4[ππ上这一部分的面积2A 分别为⎰-=401)sin (cos πdx x x A ， ⎰-=ππ42)cos (sin dx x x A ，所以，所求图形的面积为21A A A +==⎰-40)sin (cos πdx x x +⎰-ππ4)cos (sin dx x x[][]22sin cos cos sin 440=--++=πππx x x x ．例2 求椭圆22221x y a b+=的面积.解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即1044a S S ydx ==⎰ 利用椭圆的参数方程 cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩ 应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2t x a π==时,0t =,于是222024sin (cos )4sin 1cos24214sin 22240S b t a t dtab tdttab dt t ab t abπππππ=-=-=⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割b x x x a T n =<<<= 10:划分成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(n i x i =∆，假设每一个基本的小块横切面积为),,2,1)((n i x A i =，)(x A 为[]b a ,上连续函数，则此小块的体积大约是i i x x A ∆)(，将所有的小块加起来，令0→T ，我们可以得到其体积：⎰∑=∆==→bani iiT dx x A x x A V )()(lim1。
例2 求由曲线4=xy , 直线 1=x ,4=x ,0=y 绕x 轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕x 轴旋转，所以取x 为积分变量，x 的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x ,x +x d ]的小窄条，绕x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为x d ，底面积为2πy 的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为V d =2πy x d =π2)4(xx d ,于是，体积V =π⎰412d )4(x x=16π⎰412d 1x x -=16π411x=12π.3.求曲线的弧长（1）设曲线)(x f y =在[]b a ,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x 为积分变量，在[]b a ,上任取小区间[]x x x d ,+，切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度，即ds l MN ≈.得弧长微元为：dx y y x MT s 222)(1)d ()d (d '+=+==,再对其积分，则曲线的弧长为：dx x f dx y ds s ba b a b a ⎰⎰⎰'+='+==22)]([1)(1 （2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ上[],t αβ∈一段的弧长.这时弧长微元为：()()2222dx dy ds dx dy dt dt dt ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()22ds t t dt ϕψ''=+则曲线的弧长为dt t t ds s ⎰⎰'+'==βαβαψϕ22)]([)]([例3 (1)求曲线 2332x y =上从0到3一段弧的长度解 由公式 s =x y ba d 12⎰'+ （b a <）知,弧长为s =x y d 1302⎰'+=x x ⎰+30d 1=323023)1(x +=31632-=314. (2)求摆线 (sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在π20≤≤t 上的一段弧的长度（0>a ）．解 取t 为积分变量，积分区间为]2,0[π．由摆线的参数方程，得)cos 1(t a x -='，t a y sin ='，t a t a y x 222222sin )cos 1(+-='+' |2sin|2)cos 1(2ta t a =-=． 于是，由公式（16-13），在π20≤≤t 上的一段弧的长度为22002|sin |2sin 22t t s a dt a dt ππ==⎰⎰ 204cos 82t a a π⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 2、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1）()()()baC b C a C x dx '-=⎰ （2）()()()baL b L a L x dx '-=⎰ （3）例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。