高数下第6讲：二重积分
围成；是由圆周其中积分区域与围成；轴与直线轴，是由其中积分区域与的大小：
根据性质比较下列积分2)1()2(,)()()2(1,)()()1(.1223232=-+-++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x y x y x D d y x d y x D
D D
D σσσσ
;
4,)10()3(;
4,)43()2(;
20,10,)1()1(.2222222≤+++=≤+++=≤≤≤≤++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x D d y x I y x D d y x I y x D d y x I D
D D
是圆域其中积分区域是圆域其中积分区域是矩形域其中积分区域的值：
根据性质估计下列积分σσσ
使，求证必存在一点且上连续在有界闭区域与设),,(0),(,),(),(.3ηξ≥y x g D y x g y x f
⎰⎰⎰⎰=D
D dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+-++103130204024411100sin 0012
2102
2
01
0110
),(),()7(),()6(),()5(),()4(),(),()3(),()2(;),()1(.422y
y y y x x x
x x x
y y dx
y x f dy dx y x f dy dx
y x f dy dy
y x f dx dy
y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy π；交换积分次序：
所围成的区域。

及是由其中为圆域其中分根据对称性计算二重积12,,)()2(;
,)1(:
.522222===+=≤+-⎰⎰⎰⎰y x y x y D d y x I R y x D d y R x D D
σσ
围成的平面区域
是由直线其中所围成的区域
及是由直线其中计算下列二重积分0,1,,)3(01,,4)2(;cos )1(:
.62226
60===-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y x y D dxdy xy y y x x y D d y x dx x x dy D
D y σππ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤=≤≤≤≤---D y x
D
y D
D dxdy e D dxdy e y x D d x y 1}
y 1,0x 0y)(x,{,)3()1,0()1,1(),0,0(,)2(10,11,)1(.7},max{2222
其中区域；为顶点的三角形围成的和是其中所确定的区域；
是由其中计算下列二重积分：
σ
所围成的公共部分
与是由其中区域；坐标系中的二重积分：
将下列二重积分化为极)0(,),()3(),()2(;)()1(.82222210
022202>≤+≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-a ay y x ax y x D d y x f dy y x f dx dy y x f dx D x x x x
σ
16
,4)3(,0,41arctan )2(4,sin )1(.9222222222222≤+-+==≤+≤≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰D
D
D
y x D dxdy y x x y y y x D dxdy x y y x D d y x 为其中域象限内的区域
所围成的第一直线为圆环，其中；
为环域其中积分：
用极坐标计算下列二重ππσ
部分
所围成的位于第一象限由和圆周双纽线的面积
域求下列曲线所围平面区x y x y xy xy a ax y x x y x y x y x D 2,,2,1)3();
0(2))(2(;
2)(2)()1(.1032222222222====>=+=+-=+
立体的体积
内部围成的面的上面及圆柱面的下面，求位于抛物面所围立体的体积，求两圆柱面所围立体的体积；
与求由x y x xoy y x z R z x R y x h z y x z 2)3(;
)2()1.(11222222222222=++==+=+=+=
连续，求证：
在区间设]1,0[)(.12x f
⎰⎰≥-1
0)(10)(1dy e dx e y f x f
⎰⎰⎰-=b
a x a
b a x f dx x b x f dy y f dx 连续其中求证)(,))(()(:.13
1,1,)2(1,11)1(.142222222222≥+≤+++=+++--⎰⎰⎰⎰y x y x D d y x y x y x D d y
x y x D
D ：其中象限内的区域及坐标轴所围成的第一是由圆周其中重积分：
利用极坐标计算下列二σσ。