|b|
|b |
即Prjba ab°
乜,而OP (a b0)b0.
|b|
这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。
、考题类型、解题策略及典型例题
类型求矢量的模
解题策略1.Ja a，2.a {ai,a2,a3}，| a |斗'a「a/ a/-
例 已知a,b,c互相垂直，且a 1,|b | 2,|c | 3，求s a b c的模。
i j k
d a2a3
bib2b3
(azbsa3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ?)i
(aib3asbjj bja?)k
由行列式的性质可知
a.
a b的几何意义:
b表示以
a,b为邻边的平行四边形
的面积，即
|a b |
| a ||b |sin
| a | h s.
a
图
容易知道以
a，b为邻边的三角形面积为
sj|a
2
b|.
容易验证
|a
b|
| a | . a12a22a32.若a 0,记a0—。知a0是单位矢量且与a的方向一致，且a|a|a0。
|a|
因此，告诉我们求矢量a的一种方法，即只要求出a的大小|a|和与a方向一致的单位矢量a0，则
0.若a
{a1, a?a3}，知
其中
a
22'2
a2a3a1
a?
2 2
a?a3
a3
} {cos , cos , cos
第四章 矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念， 常用二次曲面的方程及其图
形，空间曲线的参数方程和一般方程•空间曲线在坐标平面上的投影•
会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、
垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的
由公式|A B |2(A B)2| A|2| B |2,得62(2k 4)28(k24) k24k 5 0
(k 5)(k 1) 0,解得k 1或k 5-
例已知a,b, c都是单位矢量且a b c 0，求a b b c ca.
(a b c) (a b c) 0
|c |22(a b b c c a) 0,又| a |2| b |2| c |21，故
方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程
理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式
掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，用坐标表达式进行向量运算的方法，
平面方程和直线方程及其求法•
第一节矢量代数
一、内容精要
（一） 基本概念
1.矢量的概念
定义 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可
例 设A 2a b,B ka b,其中|a | 1,|b | 2,且a b，若以A, B为邻边的平行四边行
的面积为6,求常数k。
解|A| .(2a b) (2a b) 4|a|2|b |2、4 4 2 2,
| B | . (ka b) (ka b) k21 a |2| b |2. k24
| A B | | (2a b) (ka b) | | 2k | a |2|b |2| | 2k 4 |
h |b|sin
图
a b 2 | a |2| b |2.
(a b) c
ai
bi
a2
b2
a3
b3
C2
(a b) c的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。
(a b) c的几何意义
|(a b) c|表示以a,b,c为邻边的平行六面体的体积，即
|(a b) c| |a b| |c|cos
分析利用a b a b 0与a，下一题类似.
2 2 2解 由a, b, c两两垂直，知a b 0, a c 0,b c 0, a a | a | , b b | b | ,c c | c |，
知| s | s s (a b c) (a b c)一|a|2|b |2| c |2.. 122232.. 14.
4.设三个矢量e1,e2,03不共面，则对空间任一矢量a，总存在唯一的三个常，mn,使
a lq me2n e3.
5.设b 0，a在b上的投影指的是
把a的起点平移到b的起点0,过a的终点作b的 垂线交b上一点P, OP称为a在b的投影，记作P a.
rj b
Prjba OP | a | cos |a||b°|cos
a,b确定平面的法矢量，这对于求直线方程
与平面方程显得非常重要。
3.矢量间的关系
1.a b a b
0
a〔b2a?b2a3bg
0.
2.a || b a b
0
a,b的分量对应成比例
若b
0，总存在唯一的常数，使
以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住
3.a,b,c共面(a b) c0若b,c不共线总存在唯一的两个实数mn,使a mb nc.
222
.a1a2a3
},
是a分别与Ox轴，Oy轴,
Oz轴正向的夹角，而
COS
ai
2 2
a2
3,cosa3
a：
2 2
aia2
—2 , cos
a3
.ai2
a3
2
a2
2
a3
2 2 2
且cos2cos2cos2
1.
2.矢量间的运算
{ai,a?,&3},b
{C1,C2，C3}.
| a || b |cos
(0
),cos
任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。
定义两个矢量a与b，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作a b.换句
话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改
变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。
a （aj a21j a3k称为按照i , j ,k的坐标分解式，a{a「a?, 83}称为坐标式。
a b
(|a| |a||b|
0,|b| 0).
aibj a?b?
a3b3,
cos
a2pa3b3
b22
b32
a acosO
■-a a
的确定（
)|a
b|
|a ||b |sin ,(2)a
a,b
定的平面
(a b,若a ||b,知| a b |
0,即a
0，方向可任意确定）垂直，
a,b,a b构成右手系若
a,b, c用坐标式给出，则
|
容易知道以a,b,c为邻边的四面
1
体的体积为V—|(a b)c|■
6
a b的应用特别重要，既若直线
图
L既垂直矢量a，也垂直矢量b且a ,b不平行，则L与a, b确
定的平面垂直，又a b也与a,b确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L
与a b平行，换句话说
a
b是直线L的方向向量，是