⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质
【学习方法导引】
1．二重积分定义
为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
(2) 若在D上 ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若 在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域 的分法要任意，二是在每个小区域 上的点 的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值 时总有同一个极限，才能称二元函数 在区域D上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D上 ≥0，则 表示以区域D为底，以 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当 ＝1时， 表示平面区域D的面积。
【主要概念梳理】
1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
分割用任意两组曲线分割D成n个小区域 同时用 表示它们的面积， 其中任意两小块 和 除边界外无公共点。 既表示第i小块,又表示第i小块的面积.
近似、求和对任意点 ,作和式
取极限若 为 的直径，记 ,若极限
存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为
性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质3若D可以分为两个区域D1,D2，它们除边界外无公共点，则
性质4若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则
性质5若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
推论
性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则
的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。
但是无论是先对 积分，再对y积分，还是先对y积分，再对 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的边界曲线，画出D的草图；
性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点 ,使
【基本问题导引】
根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：
1． ，其中
2．设D是由 轴， 轴与直线 所围成的区域，则 的大小关系是.
【巩固拓展提高】
1．若f(xD内恒有f(x,y)＝0
3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积.
4．二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.
性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：
(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似 或 的形式来表示，则我们可以将D分成若干块，并由积分性质
对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
3．二重积分的存在定理
3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).
2．估计 的值，其中
3．设f(x,y)是有界闭区域D： 上的连续函数，则
的值为多少？
【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
9.2 在直角坐标系中二重积分的计算
【学习方法导引】
本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的
第九章
【本章学习目标】
⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元， 为面积微元(或面积元素).
2.二重积分 的几何意义
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积
②求出D边界曲线的交点坐标；
③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数；
④考虑是否要将D分成几块；
⑤用x,y的不等式表示D.
注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。