变型题：已知 x 2 x 2 0 ，求（ 1） x 2 的最大值；（2） 6 x 的最小值 .
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练习： 1、解关于 x 的方程 2x 5 5 2x 0 .
2、已知关于 x 的方程 3x 6 3x 6 0 ，求 5x 2 的最大值 .
四、形如 x a x b c(a b) 型的绝对值方程的解法：
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 1 x 2 3
（ 2） x 2 x 5 7
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7 升 8 数学金牌班课后练习
（ 5） 4x 3 2x 9
1、已知 x2 x 1 0 ，代数式 x3 2x 2008 的值是
；
2、已知关于 x 的方程 3a x x 3 的解是 4，则 ( a)2 2a
；
2
3、已知 x x 2 ，那么 19 x99 3x 27 的值为
◆含参数的一元一次方程
复习：
解方程：（1） 3 2x 1 x 1
5
2
初一部分知识点拓展
（ 2） (4 x) 40%+60%x =2
（ 3） 0.2x 0.1 0.5x 0.1 1
0.6
0.4
（ 4） 1
x
1 （x
1）
2 ( x 1)
22
3
一、 含参数的一元一次方程解法（分类讨论） 1、讨论关于 x 的方程 ax b 的解的情况 .
二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定 例：已知关于 x 的方程 3a x ax 3的解为 x 4
2
变式训练：
1、已知方程 2x a 4( x 1) 的解为 x 3 ，则 a
；
2
2、已知关于 x 的方程 mx 2 2(m x) 的解满足方程 x 1 0 ，则 m
；
2
3、如果方程 2(x 1) 3( x 1) 0的解为 a 2 ，求方程： 2 2( x 3) 3(x a) 3a 的解 .
（ 3）若 a b 0 ，则 1 1 ab
例题 1：解下列不等式，并用数轴表示出来
（ 1） 5( x 1) 3x 1
（2） 7 x x 2
3
2
（ 3） 3 y 1 10 y 5 1
2
6
练习： 1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（ 1） 3(1 x) 2( x 9)
（2） 1 x 1 1 2x
练习：
7x 2y 3 1. 已知方程组 2 x ky 26 的解满足方程 9x 2 y
19 的解，求 k 的值。
类型二、含参的二元一次方程组解的情况探讨
对于二元一次方程组
a1x b1 y c1 a2 x b2 y c2 的解的情况有以下三种：
a1 b1 c1
①
a2 b2 c2
方程组有无数多解； （两个方程式等效的）
练习：
3x ay b 1. 二元一次方程组 x 4 y 2 ，当 a、b 满足什么条件时，（ 1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；
（ 3）方程组有无数解。
x 2 y 3m 3. 已知关于 x， y 的方程组 x y 9 m 的解满足方程 3x 2 y 17 ，求 m 的值。
ax y 1 2. 当 a、b 满足什么条件时，方程 (2b2 18) x 3与方程组 3x 2 y b 5 都无解。
B.2
个
C.3
个
D.
无数个
8、使方程 3 x 2 2 0 成立的未知数 x 的值是（
）；
A.-2
B.0
C.
2
D.
不存在
3
9、若 关 于 x 的 方 程 2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解， 4x 5 k 0 有 两 个 解 ， 则
m、 n、 k 的大小关系是（
）；
A. m n k B. n k m C.
1、根据绝对值的几何意义可知 x a x b a b ；
2、当 c a b 时，此时方程无解；当 c a b 时，此时方程的解为 a x b ；
当 c a b 时，分两种情况：
①当 x ②当 x
a 时，原方程的解为 x b 时，原方程的解为 x
a b c； 2
a b c. 2
例题 5：解关于 x 的方程 3 x x 1 2
；
4、 x 1 2 x 3 ，则 x 的取值范围是
；
（ 7） 2x 1 2x 3 4
5、 x 8 x 8 0 ，则 x 的取值范围是
.
6、已知关于 x 的一次方程 (3a 2b)x 7 0 无解，则 ab 是（
）；Байду номын сангаас
A 正数
B.
非正数
C.
负数
D.
非负数
7、方程 x 1 x 1 0 的解有（
）；
A.1 个
x y 3 mx ny 8 x y 1 与 mx ny 4 的解相同，求 m，n 的值。
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不等式及一元一次不等式
不等式的性质
1、不等式的基本性质：
（ 1）不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变；
①如果： a b ，那么 a c b c
②如果： a b ，那么 a c b c
②根据方程解的个数情况来确定 例：关于 x 的方程 mx 4 3x n ，分别求 m， n 为何值时，原方程： （ 1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解 .
变式训练： 1、已知关于 x 的方程 2a( x 1) (5 a)x 3b 有无数多个解，那么 a
2、若关于 x 的方程 a( 2x b) 12 x 5 有无穷多个解，求 a，b 值.
变型题：解关于 x 的方程 3 4x 4 x 1 2
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 2 x 5 7
例题 6：求方程 x 1 x 2 4 的解 .
（2） 2x 2 2x 5 7
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 3 x 2 7
（2） 2x 5 1 2x 6
例题 7：求满足关系式 x 3 x 1 4 的 x 的取值范围 .
例题 4：已知关于 x， y 的二元一次方程组 a、b 的值。
2 x 3 y 10
bx ay 8
ax by 9 与方程组 4x 3 y 2 的解相等，试求
2x y b 3x 2 y b 1 4. 若关于 x，y 的两个方程组 x y a 与 3 y 5x a 8 有相同的解，求 a，b 的值。
练习： 1. 若关于 x， y 的方程组
②如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b) cc
（ 4）如果： a b ，那么 b a ；
（ 5）如果： a b， b c，那么 a c .
2、不等式的其他性质：
由不等式的基本性质可以得到如下结论：
（ 1）若 a b，c d ，则 a c b d （同向可加性）
（ 2）若 a b 0，c d 0，则 ac bd 0 （可乘性）
2、已知 2 3a 2b (4b 12) 4 0，求 1 a2b 1 (a3 1 ab 4) .
4
2
二、形如 ax b c(a 0) 型的绝对值方程解法：
1、当 c 0 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；
2、当 c 0 时，原方程变为 ax b 0 ，即 ax b 0，解得 x b ； a
3、当 c 0 时，原方程变为 ax b c或ax b
2、已知 a 是有理数，有下面 5 个命题： （ 1）方程 ax 0 的解是 x 0 ；
（ 3）方程 ax 1的解是 x 1 ； a
（ 5）方程 ( a 1)x a 1 的解是 x 1
中，结论正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
（2）方程 ax a的解是 x 1 ； （4）方程 a x a 的解是 x 1
3
6
值.
变式训练：
1、若关于 x 的方程 9x 17 kx 的解为正整数，则 k 的值为
；
2、已知关于 x 的方程 9x 3 kx 14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k
；
3、已知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax 2a3 3a2 5a 4 有整数解，则 a 的值共有（ ）
A.1 个 B.6 个 C.6 个 D.9 个
( cx d ) ；
3、分别解方程 ax b cx b和ax b (cx b) ； 4、将求得的解代入 cx d 0 检验，舍去不合条件的解 . 例题 3：解方程 x 5 2x 5
练习： （ 1） 4x 3 2x 9
（ 2） 4x 3 2 3x 4
例题 4：如果 a 4 a 4 0 ，那么 a 的取值范围是多少 .
，b
.
3、已知关于 x 的方程 x m x 1 ( x 12) 有无数多个解，试求 m 的值 .
3
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4、已知关于 x 的方程 3a( x 2) (2b 1) x 5 有无数多个解，求 a 与 b 的值 .
变式训练： 1、若关于 x 的方程 3x a 0 的解与方程 2x 4 0 的解相同，求 a 的值 .
类型三、同解方程组问题
例题 3：已知关于 x， y 的二元一次方程组 值。
x y3
ax by 7
3 x y 7 和方程组 ax by 9 的解相同， 求 a、b 的
3. 解方程组 么关系？
2x 3y 4 5x 6 y 7 ，并将其解与方程组
3x 4y 5 6 x 7 y 8 的解进行比较， 这两个方程的解有什
④根据方程公共解的情况来确定
例：若方程 3(x
1)
8
2x
x 3与方程
k
5
2 x 的解相同，求 k 的值 . 3