二轮复习之角平分线问题
【考点一：角平分线+平行→等腰三角形】
典例1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．72
D ．2
关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。

模型图总结：
【考点二：角平分线+垂直→等腰三角形】
典例2.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则CD 的长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．2
D ．
关键点分析：关注题目中有无“双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份“垂线”，这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。

模型图总结：
【考点三：见角平分线→作双垂】
典例3． 如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，∠BAC=84°，则∠BDC=_______度。

关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。

模型图总结：
【考点四：见角平分线→作对称】
典例4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ，若AC=3，CD=2，则AB=________。

关键点分析：轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。

模型图总结：
【模型应用】
1．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度为_________cm 。

2． 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB ，则DM 的长是________．
3． M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于___________．
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）。

A ．
32 B. 43 C.53 D. 85
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
【分层检测】
A:
1．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，∠BED 的角平分线交BC 于F ．若AB=6，BC=16，则FC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
3. 如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于_________。

第1题图 第2题图 第3题图
B ：
1. 如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ= 13
CE 时，EP+BP= . 2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，试求⊙O 的半径．
第1题图 第2题图
E
F
二轮复习之中点问题
【考点一：等腰三角形三线合一】
典例1. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于________。

关键点分析：等腰三角形有底边中点时，一定联想三线合一，作出这条关键的线段。

模型图总结：
【考点二：直角三角形斜边上的中线】
典例2. 如图，△ABC 中，BC=18，若BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别为BC 、DE 的中点，若ED=10，则FG 的长为____________.
关键点分析：当直角三角形出现斜边中点时，我们往往要构造出斜边中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半来解题。

模型图总结：
【考点三：三角形的中位线】
典例3. M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于
__________.
C
B
关键点分析：当题目中出现一个或多个线段中点时，我们常构造三角形的中位线，利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半解题。

模型图总结：
【考点四：构造八字型全等】
典例4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=_________.
关键点分析： 遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段）时，考虑倍长中线法构造全等三角形 模型图总结：
【考点五：中线等分三角形面积】
典例5. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝8，则S △DEF 等于 ．
B
B
关键点分析： 遇到面积问题，且题目中有中点条件，要联想中线等分三角形的面积
模型图总结：
【考点六：圆弧上的中点】
典例5. 如图，△ABC 内接于半圆，AB 为直径，设D 是弧AC 的中点，连接BD 交AC 于G ，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ．
求证：FD=FG
关键点分析： 遇到圆弧上有中点时要考虑垂径定理及圆周角定理，弧相等往线段相等和角相等转化。

模型图总结：
【模型应用】
1. 如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=30°，则∠PFE 的度数是_____________.
2. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF 的长为_________.
B
3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC=60°，AB=3，BE=1，则PG的长度=_______.
4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是______.
5. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD＝∠ACE＝90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC＝
MB．
【分层检测】
A.
1. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，则CE=_______。

2．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝7，则EF的长为．
3. 已知S△ABC=1，D是BC的中点，AE：EB=1：2，求△ADE的面积_____ __.
4. 如图，AB是半圆O的直径，D是弧AC的中点，∠B=50°．则∠A等于_______度
B．
1. 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是__________.
3. 【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接
DE，DF．则DE，DF的数量关系为．
【拓展】如图2，在△ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC＝∠MAC．过点M 作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE＝DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．。