1、设总体服从正态分布，今抽取容量为5的子样，，…，，试问： （i ）子样的平均值大于13的概率为多少？（ii ）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？ （iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？ 解：∵X~N （12，4），n=5，∴⎺X~N （12，4/5） （i ）P{⎺X>13}=1-P{}=1-φ{=1-φ(1.12)=1-0.8686=0.1314（ii ）令X min =min{X1,X2,X3,X4,X5},X max =max{X1,X2,X3,X4,X5} P{X min <10}=1-P{X min >10}=1-P{X1,X2,……,X5>10}=1- =1-∵Y=~N(0,1)∴P{X<10}=P{=P{<-1}=P{Y<-1}=1-P{Y<1}=1-φ(1)=1-0.8413=0.1587∴P{X min <10}=1- ≈1-0.4215=0.5785（iii ）P{X min >15}=1-P{X min <15}=1-P{X1,X2，……，X5<15}=1- =1-∴P{X min >15}=1- ≈1-0.7077=0.2923 2、设总体服从正态，，，…，为其子样，与分别为子样均值及方差。

又设与，，…，独立同分布，试求统计量解：由于1n X +和X 是独立的正态变量，∴2~X N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭，，()21~n X N μσ+，，且它们相互独立.()()()110n n E X X E X E X μμ++-=-=-=. ()()()2111n n n D X X D X D X nσ+++-=+=. 则211~0n n X X N nσ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，()01N ，.而()222~1nS n χσ-，且22nS σ与1n X X +-相互独立，则()1T t n -. 3､设,求证证明：又t 分布的定义可知，若()~01U N ，，()2~V n χ，且U 与V 相互独立，则()~T t n ， 这时，22U T V n =，其中，()22~1U χ.由F 分布的定义可知，()22~1U T F n V n=，.4、设随机变量X 的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1) θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ，令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。

X ()124N ，1X 2X 5X X X ()2N μσ，1X 2X n X X 2S 1n X +1X 2X n X Y =()~T t n ()2~1T F n ，⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,0,2)(20>θn X X ,,1 X θθ(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i ni i nnni ii =<<==∏∏==θθθθ，，而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21nX X X =θ。

5、设总体，且是样本观察值，样本方差， （1）求的置信水平为0.95的置信区间； （2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。

（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =2222222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D X D ；由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,2σσ，即为（0.3000，2.1137）。

6、已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量． 解：（1）()101()xv E X xf x dx xe dx θθθ-∞∞-∞====⎰⎰，用111n i i v X X n ===∑代替，所以∑===ni i X X n 11ˆθ．（2）11ˆ()()()()ni i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 7、设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：1 (1)() , 01() 0 , nn i i i x x L θθθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它当01i x <<时，1l n ()l n (1)l nnii L nx θθθ==++∑，令1l n ()l n 01ni i d L n x d θθθ==+=+∑，得1ˆ1ln nii nxθ==--∑．8、合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性),0(~2σN X 1021,x x x 22=s 2σ)1(~222χσX Y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D 70.2)9(2975.0=χ023.19)9(2025.0=χX 1, 0(),0, xe xf x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它0θ>12(,,,)n X X X θX (;)(1),01f x x x θθθ=+<<1θ>-12(,,)n X X X X θ007.0=S 05.0=α水平，结果会怎样？参考数据: , , ,解: （1）()()2222021:0.005,~8n S H σχχσ-≤=，则应有()()2220.050.0580.005,(8)15.507P χχχ>=⇒=， 具体计算得：22280.00715.6815.507,0.005χ⨯==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． （2）新设 20:0.005,H σ≤ 由2220.025280.00717.535,15.6817.535,0.005χχ⨯=⇒==< 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．9、已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间.解：设分别表示总体的样本方差， 由抽样分布定理可知，，由分布的定义可得．对于置信度，查分布表找和 使得 ， 即，所求的置信度为的置信区间为 ．10、设总体，是来自的样本，求，和11、设为取自总体的样本，对假设检验问题，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。

0.025α=023.19)9(2025.0=χ919.16)9(205.0=χ535.17)8(2025.0=χ507.15)8(205.0=χX Y 211~(,)X μσ222~(,)Y μσ221212, , , μμσσX Y 2122σσ1α-22, X YS S X Y ，221121(1)(1)Xn S n χσ--222222(1)(1)Yn S n χσ--F 211222121222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)XX YY n S n S F F n n n S S n σσσσ--==----1α-F /212(1,1)F n n α--1/212(1,1)F n n α---[]/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-22222121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X YS S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭2221σσα-122221/212/212//, (1,1)(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭),(~2σμN X n X X X ,,,21 X )(X E )(X D )(2S E 4321,,,X X X X )4,(~2μN X 5:,5:10≠=μμH H μβ解：(1) 拒绝域为96.1254/45025.0=≥-=-=z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当μ=6时，接受0H 的概率为921.02608.12692.8}92.808.1{=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<<=X P β 12、某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（）（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：222)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023，经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

13、一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。

现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。

已知该种元件寿命服从标准差（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<. 元件寿命服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量u =，其拒绝域为{}V u u α=<.其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.则 2.5u ==-.0.05 1.645u =-，得0.05u u <，落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。

)1,10(~N X 220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====100σ=14、某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（kg / cm 2）。