数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(|>-y x P .5.设161,,x x 是来自),(2δμN 的样本,经计算32.5,92==s x ,试求)6.0|(|<-μx P .6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤<P )|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 =<P )1(X9．设21,x x 是来自),0(2σN 的样本,试求22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x Y 服从 分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>++-+P k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21σμN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221-+-+-=+m n t s y d x c t md n c ωμμ其中22222,2)1()1(yx y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差.12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_2211(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n nc nx x t cs +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。

13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2221s s 试求).2(2221>S S p14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？15．设 )(171x x 是来自正态分布),(2σμN 的一个样本,_x 与 2s 分别是样本均值与样本方差。

求k,使得95.0)(_=+>ks x p μ , 21．设1,,n x x 是来自正态分布总体()2,σμN 的一个样本。

()2111nni i s x x n ==--∑是样本方差,试求满足95.05.122≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤σn s P 的最小n 值 。

1. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?2未知, 现要检验假设H 0: ? = ?0, 则应选取的统计量是______; 当H 0成立时, 该统计量服从______分布.2. 在显着性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小, 则只有增加______.1. 设总体X ～ N(?, ?2) , ?2已知, x 1, x 2, …, x n 为取自X 的样本观察值, 现在显着水平? = 0.05下接受了H 0: ? = ?0. 若将? 改为0.01时, 下面结论中正确的是(A) 必拒绝H 0 (B) 必接受H 0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小 2. 在假设检验中, H 0表示原假设, H 1为备选假设, 则称为犯第二类错误的是 (A) H 1不真, 接受H 1 (B) H 0不真, 接受H 1 (C) H 0不真, 接受H 0 (D) H 0为真, 接受H 13. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?, ?2未知参数, 且∑==n i i X n X 11, ∑=-=ni i X X Q 122)(则检验假设H 0: ? = 0时, 应选取统计量为 (A) Q X n n )1(- (B) Q X n (C) Q X n 1- (D) 2QXn 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有T e A S S S =+1、设来自总体X 的样本值为(3,2,1,2,0)-，则总体X 的经验分布函数5()F x 在0.8x =处的值为_____________。

2、设来自总体(1,)B θ的一个样本为12,,,n X X X ，X 为样本均值。

则()Var X =___________。

3、设112,,,,...,m m m X X X X +是来自总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量miXT =∑服从的分布为__________。

4、设1,,n X X 为来自总体(0,)U θ的样本，θ为未知参数，则θ的矩法估计量为____________________。

5、设12,,,n X X X 为来指数分布()Exp λ的简单随机样本，λ为未知参数，则12ni i X λ=∑服从自由度为_________的卡方分布。

6、12,,,n X X X 设为来自正态分布2(,)N μσ的简单随机样本，2,μσ均未知，2,X S 分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设0010::H VS H μμμμ=≠的检验统计量为t =，在显着性水平α下的拒绝域为_______________________。

1、设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本， 统计量1211()n i i i T c X X -+==-∑为2σ的无偏估计。

则常数c 为12(1)n -3、设1234,,,X X X X 是来自总体(1,)B p 样本容量为4的样本，若对假设检验问题0H :0.5p =，1H :0.75p =的拒绝域为413i i W x =⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭∑，该检验犯第一类错误的概率为（ ）。

（A ）1/2 （B ）3/4 （C ）5/16 （D ）11/16 4、设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,总体X 的方差2σ未知，2,X S 分别为样本均值和样本无偏方差，则下述结论正确的是（ ）。

（A ）S 是σ的无偏估计量 （B ）S 是σ的最大似然估计量 （C ）S 是σ的相合估计量 （D ）S 与X 相互独立1、某种产品以往的废品率为5%，采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显着水平%5=α，则此，设题的原假设0H ：______备择假设1H ：______.犯第一类错误的概率为_______。

2、设总体),(~2σμN x ，方差2σ未知，对假设0H ：0μμ=，1H ：0μμ≠，进行假设检验，通常采取的统计量是________，服从_______分布，自由度是________。

3、设总体),(~2σμN x ，μ和2σ均未知。

统计假设取为0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠ 若用t 检验法进行假设检验，则在显着水平α之下，拒绝域是（B ）A 、)1(||21-<-n tt αB 、)1(||21-≥-n tt αC 、)1(||1-≥-n t t αD 、)1(||1--<-n t t α4、在假设检验中，原假设0H ，备择选择1H ，则称（ B ）为犯第二类错误A 、0H 为真，接受0HB 、0H 不真，接受0HC 、0H 为真，拒绝0HD 、0H 不真，拒绝0H2、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i ni n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为3、若总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间 .4、在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（ ）.（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 6、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y的样本，则U =服从的分布是_______ .7、设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ ______________.8、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________.9、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显着性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；一、填空题1. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 。

2. 若未知参数θ的估计量是θ，若 称θ是θ的无偏估计量。

设12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量，若 则称1θ较2θ有效。

3. 对任意分布的总体，样本均值X 是 的无偏估计量。

样本方差2S 是 的无偏估计量。

4. 设总体~()X P λ，其中0λ>是未知参数，1,,n X X 是X 的一个样本，则λ的矩估计量为 ，极大似然估计为 。

一、选择题1．设随机变量X 服从n 个自由度的t 分布，定义t α满足P(X ≤t α)=1-α，0<α<1。

若已知 P(|X|>x)=b ，b>0，则x 等于（A ）t 1-b （B ） t 1-b/2 （C ）t b （D ）t b/22．设n X X X ,...,,21是来自标准正态总体的简单随机样本，X 和S 2为样本均值和样本方差，则 （A ）X 服从标准正态分布 （B ）∑=ni iX12服从自由度为n-1的χ2分布（C ）X n 服从标准正态分布 （D ）2)1(S n -服从自由度为n-1的χ2分布 3．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，X 为其均值，记∑=-=n i i X n S 1221)(1μ，∑=-=n i i X X n S 1222)(1，∑=--=n i i X n S 1223)(11μ， ∑=--=ni i X X n S 1224)(11，服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是 （A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ（C ）1/3--=n S X T μ （D ）1/4--=n S X T μ4．设21,X X 是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，则21X X +与21X X -必 （A ）不相关 （B ）线性相关 （C ）相关但非线性相关 （D ）不独立 5．设n X X X ,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2) 的简单随机样本，统计量2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S X n Y μ，则 （A ）Y~χ2(n-1) （B ）Y~t(n-1) （C ）Y~F(n-1,1) （D ）Y~F(1,n-1) 6．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,2)，且X 与Y 相互独立，则（A ）223231Y X +服从χ2分布 （B ）2)(31Y X +服从χ2分布 （C ）222121Y X +服从χ2分布 （D ）2)(21Y X +服从χ2分布7．设X , 1021,...,,X X X 是来自正态总体N(0,σ2) 的简单随机样本，∑==ni i X Y 122101，则 （A ）X 2~χ2(1) （B ）Y 2~χ2(10) （C ）X/Y~t(10) （D ）X 2/Y 2 ~F(10,1)8．设总体X 与Y 相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2) ，X ，Y 分别为来自总体X,Y 的容量为n 的样本均值，则当n 固定时，概率)|(|σ>-Y X P 的值随σ的增大而 （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 9设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（A ）X+Y 服从正态分布 （B ）22Y X +服从χ2分布 （C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）22/Y X 服从F 分布 填空题1．已知随机变量 X ，Y 的联合概率密度为)}4849(721exp{121),(22+-+-=y y x y x f π， 则22)1(49-Y X 服从参数为 的 分布。