九年级（上）知识点归纳第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定1.等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）1.2 直角三角形全等的判定定理：1.判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

推论：直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。

1.3：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1.平行四边形性质定理：定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

2.平行四边形判定定理：从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.矩形的性质定理：定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.矩形的判定定理：1.有三个角是直角的四边形是矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形5.菱形的性质定理：定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

6.菱形的判定定理：1.四条边都相等的四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形7.正方形的性质定理：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

8.正方形的判定定理：1、有一个角是直角的菱形是正方形。

2、有一组邻边相等的平行四边形是正方形1.4：等腰梯形的性质和判定1. 等腰梯形的性质定理：定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

2.等腰梯形的判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2.对角线相等的梯形是等腰梯形。

1.5 中位线1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。

中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。

第二章 数据的离散程度 2.1：极差一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。

计算公式：极差=最大值-最小值。

极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。

一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。

2.2：方差与标准差1.方差：各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S 2基本公式：S 2=n1[(X 1-X —)2+(X 2-X —)2+……+(X n -X —)2]2.标准差:方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S 。

3. 意义：1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。

2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。

因此标准差同样反映数据的波动大小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。

第三章 二次根式3.1 二次根式 1.定义：一般地，式子（a ≧0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

有意义条件：当a ≧0时，有意义；当a ≦0时，无意义。

2.性质：（1）)0()(2≥=a a a)0(≥a a（2）==a a 2)0(<-a a3.2 二次根式的乘除1.运算法则： （1）)0,0(≥≥•=b a b a ab （)0,0(≥≥=•b a ab b a ）（2）)0,0(>≥=b a bab a （)0,0(>≥=b a baba 2.最简根式：a.被开方数中不能含能开的尽方的因数或因式 b ．被开方数中不含分母 c.分母中不含有根号一般地，二次根式运算的结果中应化为最简二次根式3.3：二次根式的加减1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式2.运算法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式3.分母有理化：当分母是单个二次根式时，就将分子与分母同乘以这个二次根式本身即可；当分母中含有多项式如（+1）时，就将分子分母同乘以它的有理化因子(-1)第四章 一元二次方程4.1 一元二次方程1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是aX 2+bX+c=0(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，其中aX 2称为二次项，a 称为二次项系数，bX 称为一次项，b 称为一次项系数，c 称为常数项4.2：一元二次方程的解法1、直接开平方2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h ）2=k 的形式（其中h,k 都是常数），如果k ≧0，再通过直接开平方法求出方程的解3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX 2+bX+c=0 （a ≠0），当b 2-4ac ≧0时，它的根是4.因式分解法：利用分解因式的方法解一元二次方程的方法5.根的判别式：当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根X 1=X 2，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根。

反之，也成立。

6.韦达定理：设一元二次方程aX 2+bX+c=0 （a ≠0）的两根为X 1，X 2那么X 1 + X 2 =-a b ，X 1 X 2 = ac4.3：用一元二次方程解决实际问题一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答”第五章 中心对称图形（二）5.1 圆定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。

其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。

与圆有关的概念：1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、定点在圆上的角叫做圆心角。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

能够互相重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

点与圆的位置关系：在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。

如果设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么“点P 在圆内 ←→d ＜r;点P 在圆上←→d=r ；点P 在圆外←→d ＞r ”5.2 圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.3 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。

2、90°的圆周角对的弦是直径。

5.4 确定圆的条件条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。

这个三角形叫做圆的内接三角形5.5 直线与圆的位置关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。

（d＜r）2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

（d=r）3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

（d＞r）直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。

切线的性质与判定：判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。

性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心3、切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。

内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.6 圆与圆的位置关系性质与判定：如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离←→d＞R+r两圆外切←→d=R+r两圆相交←→R-r＜d＜R+r（R＞r）两圆内切←→d=R-r(R＞r)两圆内含←→0≤d＜R-r（R＞r）连心线的性质：圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。

沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。

5.7 正多边形与圆正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。

一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

1、边数相同的正多边形相似。

2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。

（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。

过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。

作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。

这就要学习两种方法：（1）用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。

具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。

（2）用尺规等分圆，作正方形和正六边形。

具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。

友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。

5.8 弧长及扇形的面积圆的周长公式C=2πR，其中π是圆的周长与直径的比值，π称为圆周率。

弧长公式：l=，其中，表示1°的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径，l为n°的圆心角所对的弧长。