ij ij I
(7-5)
特征方程为
f det ij I 3 I12 I2 I3 0 (7-6)
其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变 量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式
之和，即为
I1 x y z
I2
x xy
xy y y yz
(x xx)(y yy)(z zz)
其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为
(x xx)( y y y)(z zz) x yz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z y z z x x y x yz
忽略二阶以上微量，则有
x y z xx yy zz 11 22 33 kk
此即为体积应变。
广义虎克定律
Lamè形式
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
yz
1
yz
,
zx
1
zx
,
xy
1
xy
(7-8)
写成张量形式则有
其中
ij
1
E
ij
yz z z zx
zx x
x xy xz I3 xy y yz
xz yz z
例题 已知物体某点的应力分量为x=50a，y=80a， z =-70a，xy=-20a，yz=60a，zx =0。试计算主应力值，
并求出主方向。
解：首先求出应力不变量为
I1 x y z 60a
x
x
yx
y
zx
z
X
0
xy
x
y
y
yz
z
Y
0
xz
yz
z
Z
0
x y z
(7-1) Nevier方程
以及
yx xy , xz zx , yz zy
§7.2 物体内任一点的应力状态
当平面ABC趋近P点 时，平面ABC上的应力就 成为该斜面上的应力。令 n的方向余弦为
n l, m, nT
n
pn2
2 n
X
2 n
Yn2
Zn2
2 n
(7-3)
以上各式用矩阵可以写成
X n x xy xz l Yn xy y yz m Zn xz yz z n
或者
pn ( ij )n
x
n l, m, n xy
xy y
xz l yz m
xz yz z n
n nT ( ij )n
(7-2a) (7-3a)
其中
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
称为一点处的应力张量(stress tensor)。它是对称于主 对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三
个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量
是反映该点应力状态的特征力学量。
E
ij
x y z 1 2 3 kk
ij
1 0
i j i j
Kronecker-
(7-8)
Young-Poisson形式
x
E
1
1 2
x
y
E
1
1 2
y
z
E
1
1 2zΒιβλιοθήκη yzE21
yz , zx
E
21
zx , xy
E
21
xy
写成张量形式则有
相应的方向余弦为
l1 0.0474 l2 - 0.3140 l3 - 0.9483
m1 - 0.3350 , m2 0.8993 , m3 - 0.2810
n1
0.9410 n2
0.3044
n3
- 0.1478
§7.4 几何方程 物理方程
Geometrical equations & Physical equations
得斜面上的应力为
Xn
l x
m xy
n xz
Yn l xy m y n yz
Zn
l xz
m yz
n z
C
n
yx xy
x
y z
Zn
P yz X n
zy
xz
Yn zx
B
A
z
o
xy
(7-2)
若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则 成为
n lX n mYn nZn l 2 x m2 y n2 z 2mn yz 2nl zx 2lm xy
（优选）空间问题的基本理论 纯黑
yy
z
zz
zx
zy
yx yz
xz
xz
xz
x
dx
xx
xx
x
xy
dx
xx
xy xy dx x yx
yz
yz
y
dy
yx
yy dy
yy
y
y
dy
xy
方程推导
图示单元体受力情况属于空间一般力系，由ΣX=0， ΣY=0， ΣZ=0， Σmx=0， Σmy=0， Σmz=0，可得
( )uk,ki ui,kk X i 0 (i 1,2,3)
I2
x xy
xy y y yz
yz z z zx
zx 9100a2 x
x xy xz I3 xy y yz 432000a3
xz yz z
3 60a2 9100a2 432000a3 0
得特征值为
1 91.361a,2 44.0728a,3 107.288a
其中
ij ij 2ij
(7-9)
x y z 1 2 3 kk
E , G E
(1 )(1 2 )
2(1 )
Lamè弹性常数
弹性空间问题位移解法
将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量 表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方 程即可。
( )( u),i 2ui Xi 0 (i 1,2,3)
x
u x
,y
v y
, z
w z
xy
u y
v x
,
(7-7)
yz
w y
v z
,
zx
u z
w x
Cauchy方程
记为张量形式则有
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。
(7-7)
体积应变(volume strain)
设有微小正平行六面体，起棱边长为x、y、z， 变形前体积为xyz，变形后体积成为
当上述斜面ABC是弹性体的边界面时， (7-2)则成 为弹性体的边界条件
l x l xy
m xy m y
n n
xz yz
X Y
(7-4)
l xz
m yz
n z
Z
§7.3 主应力、主方向的确定
应力张量
x xy xz
ij xy y yz
xz
yz
z
也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数 理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为