第七章 空间问题的基本理论§7-1 平衡微分方程图7-1在物体内的任意一点P ，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴，而棱边的长度为dz PC dy PB dx PA ===,,，图7-1。

一般而论，应力分量是位置坐标的函数。

因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。

例如，作用在后面的正应力是x σ，由于坐标x 改变了dx 作用在前面的正应力应当是dx xxx ∂∂+σσ，余类推。

由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。

首先，以连接六面体前后两中心的直线ab 为矩轴，列出力矩的平衡方程0∑=ab M ：略去微量以后，得zyyzττ=。

同样可以得出yx xy xz zx ττττ==,只是又一次证明了切应力的互等性。

其次，以x 轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑=0xF ，得.0d d d d d d d )(d d d d )d (d d d d )d (=+-∂∂++-∂∂++-∂∂+z y x f yx y x dz zxz x z y yz y z y x x x zx zxzxyx yxyzx xxττττττσσσ由其余2个平衡方程，∑=0y F 和∑=0z F ，可以得出与此相似的2个方程。

将这3个方程约简以后，除以z y x d d d ，得⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂.0,0,0zyzxzzy xyzyyx zxyzxf yxzf x z y f zy x ττσττσττσ （7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。

§7-2 物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量,,,z y x σσσyx xy xy zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。

为此，在P 点附近取一个平面ABC ，图7-2。

当四面体PABC 无限减小而趋于P 点，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。

n命平面ABC 的外法线为n '，其方向余弦为n z n m y n l x n ='='='),cos(,),cos(,),cos(。

设三角形ABC 面积为S d ，则三角形BPC ，CPA ，APB 的面积分别为S l d ，S m d ，S n d 。

四面体PABC 的体积用V d 代表。

三角形ABC 上的全应力p 在坐标轴上的投影用z y x p p p ,,代表。

根据四面体的平衡条件∑=0x F ，得：xyzx yzzyxn lm nl mn n m l τττσσσσ222222+++++=。

（7-3）22222n z y x n p p p στ-++=。

（7-4）如果在S 面上作用面力，则面力和应力的关系式为：⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=++.)(,)(,)(z s yz xz z y s xy zy y x s zxyxxf m l n f l n m f n m l ττσττσττσ(在σs 上) （7-5）其中s yz s x )(,,)(τσ 是应力分量的边界值。

这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系 。

§7-3 主应力 最大与最小的应力设经过一点P 的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P 点的一个主应力，该斜面称为在P 点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为P 点的一个应力主向。

假设在P 点有一个应力主面存在。

这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力σ。

于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为σσσn p m p l p z y x ===,,。

将式（7-2）代入，即得⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=++.,σττσσττσσττσn m l n m l n m l n m l yzxzzxy zyyzx yx x（a ）此外还有方向余弦的关系式1222=++n m l。

（b ）如果将式（a ）与（b ）联立求解，能够得出n m l ,,,σ的一组解答，就得到P 点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。

用下述方法求解，比较方便。

将式（a ）改写为⎪⎭⎪⎬⎫=-++=+-+=++-.0)(,0)(,0)(n m l n m l n m l z yz xz zy y xy zxyxxσστττσστττσσ(c)这是n m l ,,的3个齐次线性方程。

因为由式（b ）可见n m l ,,不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式式等于零，即.0=---σστττσστττσσzyzxzzy y xy zxyxx用式xy zx yz τττ,,代替yx xz zy τττ,,，将行列式展开，得σ的三次方程.0)2()()(222223=+-----+++++-xyzx yz xy y yzx zy x xyyzyx xz zy z yx ττττστσσσσσττσσσσσσσσσσσ（7-6）证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。

0))()((321=---σσσσσσ。

z yxσσσσσσ++=++321。

1、体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量（不随坐标系而变的量），并且等于该点的三个主应力之和。

2、三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。

3、又可见，在三个主应力相等的特殊情况下，所有各截面上的正应力都相同（也就等于主应力），而切应力都等于零。

4、最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主误码力的夹角”的平面上。

§7-4 几何方程及物理方程1 几何方程现在来考虑空间问题的几何学方面。

在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列六个方程，即空间问题的几何方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=y u x x z u z y z y x u xy zx yz z y x υγωγυωγωευεε,,,,（7-8）其中的第一式、第二式和第六式已在§2-4中导出，其余三式可用同样的方法导出。

此外，在物体的给定约束位移的边界u s 上，位移分量还应当满足下列三个位移边界条件，即空间问题的位移边界条件：.)(,)(,)(ωωυυ===s s s u u （在u s 上） （7-9）此三式的等号左边是位移分量的边界值，等号右边是该边界上的约束位移分量的已知值。

2、几个重要概念。

设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为z y x d ,d ,d 。

在变形之前，它的体积是x y x d d d ；在变形之后，它的体积将成为)d d )(d d )(d d (z z y y x x z y x εεε+++。

其公式为.1)1)(1)(1(d d d d d d )d d )(d d )(d d (z y x yx z z z y z yx z y x z y x zy x zy x z z y y x x εεεεεεεεεεεεεεεεεεθ++++++=-+++=-+++=由位移和形变量是微小的假定，可略去线应变的乘积项（更高阶的微量），则上式简化为z y x εεεθ++=。

（7-10）将几何方程（7-8）中的前三式代入，得zyxu ∂∂+∂∂+∂∂=ωυθ。

（7-11）它表明体应变与位移分量之间的简单微分关系。

物理方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+=+-=+-=+-=.)1(2,)1(2,)1(2)],([1)],([1)],([1xy xy zx zx yz yz y x z z x z y y z y x x EE E E EEγμγτμγτμγσσμσεσσμσεσσμσε （7-14）将上式的三个应变分量相加得：)(21z yx z y x Eσσσμεεε++-=++设 )(z yx σσσ++=Θ 为一个不变量得空间问题的虎克定律： Θ-=Eμθ21上式的Θ就称为 μ21-E 称为第五节 轴对称问题的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于一轴。

这就问题称为空间轴对称问题。

首先来导出对称问题的平衡微分方程。

用相距ρd 的两个圆柱，互成ϕd 角的两个沿直面及相距z d 的两个水平面，从弹性全割取一个微小六面体PABC ，图7-4。

沿ρ方向的正应力，称为径向正向应力，用ρσ代表；沿ϕ方各听正应力，称为环向正应力，用ϕσ代表；沿z 方向的正应力，称为轴向正应力，代然用z σ代表；作用在圆柱面上而沿z 方向作用的切应力用z ρτ代表，作用在水平面上而沿ρ方向作用的切应力用ρτz 代表。

根据切应力的互等性，z z ρρττ=。

由于对称性，ϕρρϕττ=及ϕϕττz z =都不存在。

这样，总共只有四个应力分量：z z z ρρϕρττσσσ=,,,，一般都是ρ和z的函数。

ρd图7-4将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，取2d sin ϕ及2d cos ϕ分别近似地等于2d ϕ及1，得平衡方程.0d d d d d d d )(2d d d 2d d d d )d )(d (=+-∂∂++--+∂∂+z f zzz z z z z ρϕρρϕρτρϕρττϕρσϕρσϕρρρρσσρρρρϕρρρZx中得空间轴对称问题的平衡微分方程如下：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂.0,0zzz zz f zf z ρτρτσρσστρσρρρϕρρρ （7-15） 现在来导出轴对称问题的几何方程。

沿ρ方向的线应变，称为径向线应变，用ρε代表；沿ϕ方向的线应变，称为环向线应，用ϕε代表；沿z方向的线应变，称为轴向线应变，仍然用z ε代表；ρ方向与z 方向之间的直角的改变用ργz 代表。

由于对称，ρϕγ及ϕργ都等于零。

沿ρ方向的位移分量称为径向位移，用ρu 代表；沿z 方向的位移分量称为轴向位移，用z u 代表。

由于对称，环向位移0=ϕu 。

通过与§2-4及§4-2中同样的分析，可见，由于径向位移ρu 引起的形变是ργρερερρρϕρρ∂∂==∂∂=u u u z ,,。

将以上两组形变相叠加，得空间轴对称问题的几何方程ργερερερρρϕρρ∂∂+∂∂=∂∂==∂∂=z z z z u zu zu u u ,.,。