第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例 1. 如图，A, F ,E, B 四点共线，AC CE， BD DF，AE BF，AC BD 。

求证：ACF BDE 。

例 2.如图，在ABC 中， BE 是∠ABC的平分线，AD BE ，垂足为 D 。

求证：21 C 。

例BE 3. 如图，在BF ，连接ABC 中， AB BC ，AE, EF 和CF。

求证：ABCAE90o。

FCF 。

为 AB 延长线上一点，点E在 BC上，例 4. 如图，AB // CD，AD // BC，求证：AB CD 。

例 5. 如图， AP, CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN 的平分线。

例 6. 如图，D是ABC 的边 BC 上的点，且 CD AB ， ADB BAD，AE是ABD 的中线。

求证： AC2AE 。

例7.如图，在ABC中， AB AC，12， P为 AD上任意一点。

求证：AB AC PB PC。

同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC 的是()3， A 30oA.AB3， BC4， CA8B.AB4， BCC.C60o， B45o，AB4D.C90o，AB63.如图，已知12， AC AD ，增加下列条件：① AB AE ；② BC ED ；③C D ；④B E 。

其中能使ABC AED 的条件有()A.4 个B.3个C.2个D.1个4. 如图，1 2 ， C D ，AC , BD交于 E 点，下列不正确的是()A.DAE CBEB.CE DEC.DEA 不全等于CBED.EAB 是等腰三角形5. 如图，已知AB CD，BC AD，B23o，则 D 等于()A. 67oB.46oC. 23oD. 无法确定二、填空题：6.如图，在ABC 中， C 90o，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，且CD : AD 2:3 ， AC10cm ，则点 D 到 AB 的距离等于__________cm；7. 如图，已知AB DC，AD BC ，E,F是 BD 上的两点，且 BE DF ，若AEB 100o， ADB 30o，则BCF ____________；8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD 的大小为_________；9.如图，在等腰 Rt ABC 中， C 90 o，AC BC，AD平分BAC交 BC于 D ，DE AB 于 E ，若 AB 10，则BDE 的周长等于____________；10.如图，点D, E, F , B 在同一条直线上，AB//CD， AE//CF ，且 AE CF ，若BD10， BF 2 ，则 EF ___________；三、解答题：11. 如图，ABC 为等边三角形，点M , N分别在BC,AC上，且 BM CN ，AM与 BN 交于Q 点。

求AQN的度数。

12. 如图，ACB90o，AC BC，D为AB上一点，AE CD ，BF CD ，交 CD 延长线于 F 点。

求证：BF CE。

答案两边例 1.思路分析：从结论ACF BDE 入手，全等条件只有AC BD；由AE BF同时减去EF 得到 AF BE ，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE ，也可以是 A B 。

BDF 90o，再加上AE BF，AC 由条件 AC CE ，BD DF 可得ACE BD ，可以证明ACE BDF ，从而得到A B 。

解答过程：Q AC CE， BD DFACE BDF90o在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AE BFQAC BD∴Rt ACE Rt BDF (HL)A BQ AE BFAE EF BF EF ，即 AF BE在 ACF与 BDE中AF BEQ A BAC BDACF BDE (SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例 2. 思路分析：直接证明21 C 比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1 C 。

也可以看成将 2 “转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交 BC 于 F ，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2= ∠ DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB= ∠1+∠ C。

解答过程：延长 AD 交 BC 于 F在 ABD与 FBD 中ABDFBDQ BD BD ABD FBD (ASA2DFBADB FDB90o又 Q DFB1C2 1 C 。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例 3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段 AE 为边的 ABE 绕点 B 顺时针旋转90o到CBF 的位置，而线段CF 正好是CBF 的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程： Q ABC 90o，F为AB延长线上一点ABC CBF90o在ABE与CBF 中AB BCQ ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF 。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例 4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接 ACQ AB//CD ， AD// BC12，34在 ABC与 CDA中12Q AC CA43ABC CDA (ASA)AB CD 。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例 5. 思路分析：要证明“BP为等来证明，故应过点P向BM,BNMBN 的平分线”，可以利用点P 到BM , BN的距离相作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP 分别是MAC 和NCA 的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

解答过程：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于FQ AP平分MAC ， PD BM于D，PE AC于 EPD PEQ CP平分NCA， PE AC于 E， PF BN于FPE PFQ PD PE， PE PFPD PFQ PD PF，且 PD BM于D，PF BN于FBP 为MBN 的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例 6. 思路分析：要证明“AC2AE ”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至 F ，使 EF解答过程：延长 AE 至点 F ，使在ABE与FDE 中AE 。

EF AE ，连接DFAE FEQ AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDFQ ADF又Q ADBADBBADEDF，ADC BAD BADF ADCQ AB DF，AB CDDF DC在 ADF 与 ADC中AD ADQ ADF ADCDF DCADF ADC (SAS)AF AC又Q AF 2AEAC 2AE 。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例 7. 思路分析：欲证AB AC PB PC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC 。

而构造 AB AC 可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：在 AB 上截取 AN AC ，连接 PN在 APN与 APC中AN ACQ12AP APAPN APC (SAS)PN PCQ 在BPN 中，PB PN BNPB PC AB AC ，即AB － AC>PB －PC。

法二：AB ，连接PM延长 AC至M，使 AM在ABP与AMP中AB AMQ12AP APABP AMP (SAS)PB PMQ 在PCM中，CM PM PCAB AC PB PC 。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案一、选择题：1.A2. C3. B4.C5. C二、填空题：6.47. 70o8. 90o9.1010. 6三、解答题：11.解： Q ABC为等边三角形AB BC ，ABC C60o在 ABM与 BCN中AB BCQ ABC CBM CNABM BCN (SAS)NBC BAMABQNBC 60o。

AQN ABQBAM12. 证明：Q AE CD，BF CDF AEC90oACE CAE90oQ ACB 90oACEBCF 90oCAEBCF在 ACE与 CBF 中FAECQ CAE BCFAC BCACE CBF (AAS)BF CE 。