天津大学2010年《自动控制理论》考研试题与答案一、选择题（每题6分，共30分）1．应用输入函数和系统脉冲响应函数的卷积运算，可以用来（）。
A．计算线性定常系统对输入的影响B．计算定常系统对输入的相应，无论系统是线性的还是非线性的C．计算线性系统对输入的相应，无论系统是定常的还是时变的D．计算任意系统对任意输入的相应答案：A2．控制系统是稳定的，则（）。
A．系统的控制误差渐近地趋于零B．系统去除扰动后控制误差会渐近地趋于零C．对给定的输入，系统不同初始条件下的响应渐近地趋于一致D．系统参数出现漂移时可以维持系统的控制性能答案：C3．在闭环系统的调试过程中，逐渐增大系统的开环增益，结果发现当快速性和稳定性达到设计要求时系统的控制精度欠佳，问应该采取下述那种措施？（）A．采用滞后校正B．采用超前校正C．继续增加开环增益D．采用滞后-超前校正答案：A4．系统校正中控制器和被控对象间不稳定的零、极点间不能对消，是因为（）。
A．零、极点对消会破坏系统的可控性和客观性B．参数变化可避免，严格对消没有实际意义C．零、极点对消往往导致复杂的控制器设计D．这样做会导致系统的不稳定答案：D5．被控对象是可控可观的，则（）。
A．总能设计出控制器，使得闭环系统是稳定的B．可以构造状态观测器，使状态观测误差始终为零C．可以任意决定状态变量的收敛速度和观测误差的收敛速度D．应用状态反馈，可以任意配置系统的极点和零点答案：B二、（20分）质量弹簧系统如图所示，图中k为弹簧的弹力系数，f为阻尼器的摩擦系数，m为质量块的质量，F(t)为外力，以F(t)=0时重力作用下质量块的平衡位置为位移y的原点。
（1）试列写外力F(t)作为输入，位移y作为输出时系统的输入输出微分方程描述，给出系统的传递函数；（2）设系统在单位阶跃外力作用下，质量块的稳态位移为0.1，系统的无阻尼自然振荡频率n 10ω=，阻尼比0.5ζ=，求系统参数m、k、f；（3）求阶跃输入下系统的动态响应指标t r、t p、t s（按5%误差计算）和σ%。
解：（1）系统运动方程为()F t ky fv ma --=，即：()F t my fy ky =++ 经拉氏变换可得：2()()()F s ms fs k Y s =++可得系统传递函数为：2()1()()Y s s F s ms fs kΦ==++ （2）由()F t my fy ky =++可知，当f →∞时，()0.11F k ∞=⨯=10k ⇒=因为n ω=ζ=0.11m f =⎧⎨=⎩（3）调节时间s n3.50.7t ζω==；阻尼自然频率d ωω= 峰值时间p d π0.36t ω==；阻尼比cos βζ=；上升时间r dπ0.24t βω-==；超调量：π%e 100%16.3%ζσ-==三、（20分）两个可控可观的但输入单输出系统S 1、S 2为：S 1：11111x A x b u =+；111Ty c x =S 2：22222x A x b u =+；222y c x =式中，10134A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，101b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]121T c =，22A =-，21b =，21c =。
把S 1、S 2串联起来，如图所示。
（1）针对状态变量12x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列写串联后系统的状态空间表达式；（2）判定串联后系统的可控性和可观性；（3）求出串联后系统的传递函数。
解：（1）由题意，系统状态方程：11111x A x b u =+，111Ty c x =代入S 2状态方程得：22222222122211T x A x b u A x b y A x b c x =+=+=+[]221112212TA x c x x x =+=-222y c x =因此有：11122010034012120x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]12001x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）可控判别矩阵o 0141413014C -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因为o rank 2C =，所以系统不完全可控。
可控判别矩阵b 001212744O ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，因为b rank 3O =，所以系统是可观测的。
（3）系统的传递函数为：1322()()6116s G s C sI A B D s s s -+=-+=+++四、（20分）设单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(1)KG s s s Ts τ=++，其中，K =2，T =1，0τ＞为变化参数。
（1）试绘制参数τ变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时τ的取值范围；（2）求使3-成为一个闭环极点时τ的取值；（3）τ取（2）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按5%误差计算）和超调量。
解：（1）由题意，有：3212()2s s G s s s τ+=++起点：1,20.5 1.32p j =-±；终点：1,20z =，31z =-；分支：3条；起始角：1p 20.7θ=，2p 20.7θ=-；与虚轴交点：1τ=，1ω=± 闭环系统的根轨迹图如图所示。
由根轨迹可知当1τ0＜＜时系统稳定。
（2）若3p =-是系统闭环极点，则(3)0D -=，解得：49τ= （3）当49τ=时，则：2()(3)(6)0D s s s s =+++=2,30.5j2.4p ⇒=-±则阻尼比0.2ζ==；自然振荡频率n ω； 调节时间s n36.1t ζω==；超调量π%e 100%53%ζσ-==。
五、（25分）单位反馈系统校正前的开环传递函数为1000()(0.011)G s s s =+，引入串联校正装置后系统开环的对数幅频特性渐近曲线如图所示。
（1）试绘制系统校正前开环传递函数和校正环节的对数幅频特性的渐近曲线，计算校正前系统的相角裕度；（2）给出校正装置的传递函数，它是哪种校正装置？计算校正后系统的相角裕度；（3）估算校正后闭环系统阶跃响应的超调量、峰值时间和调节时间。
解：（1）校正前开环传递函数为1000()(0.011)G s s s =+，其幅频特性如上图所示其穿越频率为c 316ω=，相位裕度为c ()18090arctan3.1617.56γω=--=。
（2）校正后开环传递函数为：c 210(101)()()(0.011)s G s G s s s +=+可得穿越频率为：c100ω'=相位裕度为：c ()180arctan1000180arctan189.944544.94γω︒=+--=-=校正装置的传递函数为0.01(101)()c s G s s+=，是一个PI 校正装置。
（3）系统闭环函数传递函数为：c 3210(101)()()0.0110010s G s G s s s s +=+++其中闭环函数极点10.1p ≈-与零点10.1z =-组成极对子。
所以系统闭环传递函数可近似为：o 21000()10010000G s s s =++可得自然振荡频率n 100ω=，阻尼比0.5ζ=；调节时间s n30.06t s ζω==；超调量π%e 100%16%ζσ-=⨯=；峰值时间p dπ0.036t s ω==。
六、（25分）二阶系统的微分方程描述为2x yy y x u =⎧⎨=-+⎩，式中，x 为系统的输出，u 为控制作用。
控制作用u 由下述切换函数决定：4,(0.5)04,(0.5)0x x x y u x x x y -+⎧=⎨+⎩当＞当＜。
（1）根据切换函数对(x , y )相平面进行分区，讨论各分区奇点的位置和性质；（2）绘制(x , y )相平面上系统的相轨迹图；（3）根据相轨迹图，讨论相平面原点的稳定性。
解：（1）由切换函数4,(0.5)04,(0.5)0x x x y u x x x y -+⎧=⎨+⎩当＞当＜可划分相平面区域，如图所示由系统微分方程得：2x x x u =-+将d d x x x x =代入，得：d 2d x x u x x x+-=令d 0d 0x x =，得系统奇点为原点00x y =⎧⎨=⎩。
为确定奇点类型，需计算奇点处的一阶偏导数及增量线性方程。
在奇点（0,0）处，当4u x =-时，有：00(,)(,)52x x x x f x x f x x x x ====∂∂=-=∂∂，整理，得：520x x x ∆-∆+∆=特征根为：1 4.56s =，20.44s =，该奇点是不稳定节点。
当4u x =时，有：0,00,0(,)(,)32x x x x f x x f x x xx====∂∂==∂∂，整理，得：320x x x ∆+∆+∆=特征根为：11s =-，22s =-，该奇点稳定节点（2）令d d xa x=，使用等倾线法绘制系统相轨迹如图所示。
（3）分析相轨迹可知原点处存在一个稳定的极限环。
七、（20分）采用控制系统如图所示。
已知采样周期T =1秒，数字调解器D ()G z 为PI调节器，即i D p ()1k zG z k z =+-。
（1）试写出被控对象的脉冲传递函数和系统的开环脉冲传递函数；（2）为使1,20.7j0.4z =±成为系统闭环的一对共轭极点，给出应满足的条件；（3）应用（2）中给出的条件求出p k 和i k 的具体取值。
提示：221(1)Tz Z s z ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，11z Z s z ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1e T z Z s z αα-⎡⎤=⎢⎥+-⎣⎦。
解：（1）被控对象脉冲传递函数为：112221222()(1)(1)1z G z z Z Z s s z s s s -⎡⎤--⎡⎤=-=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦2112220.7360.5281(1)e (1)(0.368)z z z z z z z z z z z -⎡⎤--+=++=⎢⎥-----⎣⎦ 开环脉冲传递函数为：i p 1()()1k z G z k G z z ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭i p 0.7360.5281(1)(0.368)k z z k z z z +⎛⎫=+ ⎪---⎝⎭（2）特征方程：2p i ()1()(1)(0.368)[(1)](0.7360.528)D z G z z z k z k z z =+=--+-++为1,20.7j0.4z =±使成为系统闭环的一对共轭极点，则：1()0D z =，2()0D z = （3）由题意，可得：211p 111222i 2221(1)(0.368)/(0.7630.528)1(1)(0.368)/(0.7630.528)z z k z z z z z k z z z ⎧-⎡⎤--+⎡⎤⎡⎤⎪=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩p i 0.2320.048k k =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩。