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蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第18章 委托—代理理论)

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1.(),x ϕθ是θ类的代理人的成本函数。

在18.1.1节中我们说,如果()()12,,x x ϕθϕθ>,且()()12,,x x x x ϕθϕθ>成立,则这两类代理人的无差异曲线只相交一次,请证明这一点。

证明:两类代理人的无差异曲线满足方程:()111,u y x ϕθ=- ()222,u y x ϕθ=-它们的差为:()()212112,,u u u y y x x ϕθϕθ∆=-=-+-对函数求导得到:()()12d ,,0d x x ux x xϕθϕθ∆=-> 从而得到u ∆是严格单调函数,所以最多和x 轴相交一次,即最多存在一个x ,使得21u u =。

另一方面,当0x =时,()11,0x a ϕθ==,()22,0x a ϕθ==。

此时委托人的利润函数变为v y =-,根据利润最大化原则,支付的工资为120y y ==。

所以,当0x =时,两效用函数都为0,无差异曲线相交。

2.参看图18-5中显示的两个分布密度函数:如果代理人的行动是a *,可能的产量将落在区间()(),a a αβ**⎡⎤⎣⎦内;另一个行动a '对应的产量区间是()(),a a αβ''⎡⎤⎣⎦。

(1)证明:只要委托人对生产()(),x a a αα*⎡⎤'∈⎣⎦的代理人处予足够大的惩罚,就能保 证代理人选择a *;(2)是否也存在适当的惩罚机制,保证代理人选择行动a '? 解:(1)考虑一个简单的两段支付函数:12y y y ⎧=⎨⎩()()()(),,x a a x a a αααα**⎡⎤'∈⎣⎦⎡⎤'∉⎣⎦其中,1y 和2y 都是常数,12y y <。

在此支付结构下,代理人选择行动a '所获的期望效用为:()()()(){}()112,1,u E a F a a u y F y a u y a αα**⎡⎤⎡⎤'''=+--⎣⎦⎣⎦而选择行动a *所获的期望效用为:()()2u E a u y a **=-要阻止代理人选择行动a ',只需:()()(){}()()1122,1,F a a u y F y a u y a u y a αα***⎡⎤⎡⎤''+--<-⎣⎦⎣⎦由于(),0F a a α*⎡⎤'>⎣⎦,所以: ()()()12,a a u y u y F a a α**'-<-⎡⎤'⎣⎦由于效用函数是严格单增的,只要210y y ->足够大,上式便成立。

(2)与(1)相反,只要210y y -<,则保证代理人选择行动a '。

3.如果1θ和2θ两类代理人所占的比例分别是γ和1γ-,γ值的变化会如何影响委托人的最优契约?解:在条件12θθ<条件下,由最优契约条件(18.14)和(18.15),得到:()()()1112111,1,,1a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-<⎣⎦()22,1ax x ϕθ=当γ趋近于1时,()11,a x x ϕθ趋向于1。

这表明y 越大,委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。

同时,委托人向高效率代理人提供的契约不随γ的变化而改变。

4.如果18.1节模型中包含三种不同的代理人,利用微分方法或者几何方法说明,最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平,但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。

解:模型18.1的假设条件下,假设1θ、2θ和3θ三类代理人所占的比例分别是1γ、2γ与121γγ--,则委托人的期望利润为:()()()()()11122212331E v x y x y x y γγγγ=-+-+---设各代理人的保留收益为0u =,他们面临的参与约束与自选择约束条件为:代理人 参与约束自选择约束1()()111221,,y x y x ϕθϕθ-≥-()111,0y x ϕθ-≥(束紧)()()111331,,y x y x ϕθϕθ-≥-2()222,0y x ϕθ-≥()()222112,,y x y x ϕθϕθ->-(束紧) ()()222332,,y x y x ϕθϕθ->-3()333,0y x ϕθ-≥()()333113,,y x y x ϕθϕθ-≥-()()333223,,y x y x ϕθϕθ-≥-(束紧) 在三个束紧的约束等式下,委托人的期望利润最大化问题变为:()()()()1112221233max 1x y x y x y γγγγ-+-+---⎡⎤⎣⎦..st ()111,y x ϕθ=()()()2112233,,,y x x x ϕθϕθϕθ=+-()()()()()31122123323,,,,,y x x x x x ϕθϕθϕθϕθϕθ=+-+-一阶必要条件是:()()()111121111,1,,a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()1222232221,1,,aa ax x x x x x γγϕθϕθϕθγ--⎡⎤=+-⎣⎦()333,1ax ϕθ=由于0x θϕ<,且123θθθ<<,故而有:()()1211,,a a x x x x ϕθϕθ<,()()2322,,a ax x x x ϕθϕθ<因此,由一阶必要条件易知:()()1111,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()2222,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()333333,1,1a x x ϕθϕθ*===由于0x θϕ=,故有11a x x *<,22a x x *<,33a x x *=,即在最优激励契约中低效率的两类代理人产量低于帕累托有效水平,而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。

5.考虑一个以边际成本c 生产x 商品的独占厂商,市场上有两种可能的消费者。

两类消费者的效用函数分别是()()1,U x q v x q =+,()()2,2U x q v x q =+其中q 是消费者在其他所有商品上的消费,0v '>,0v ''<。

假设厂商是风险中立的,它无法识别具体消费者的特定类型。

利用18.1节的模型,推导厂商的最优定价策略,确认“顶端不扭曲”原理。

解:厂商的期望利润为:()()()()11221E p c x p c x πγγ=-+--消费者的参与约束与自选择约束条件分别为:类型 参与约束自选择约束1 ()1110v x p x -≥(束紧)()()111222v x p x v x p x -≥-2()22220v x p x -≥()()22211122v x p x v x p x -≥-(束紧)假设厂商认为市场上两类消费者的比例分别为γ和1γ-,厂商的期望利润最大化问题为:()()()()(){}112112max 122v x cx v x v x v x cx γγ-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦一阶必要条件为:()121a c v x γ'=-,()22ac v x '= 由于01γ<<,因此()()12a av x v x ''>;又因为0v ''<,故12a a x x <,即低端市场1上的产品供应水平低于最优水平,而在高端市场2上,厂商的供应水平与最优水平一致。

6.政府决定干涉一个独占市场。

假设这个市场上唯一的一个厂商的成本函数可能是1x θ或者2x θ,12θθ<;独占厂商清楚自己的确切成本,但政府不知道,它猜测厂商成本是1x θ的概率是γ()01γ<<;社会从该厂商的消费中获得的总效用是()U x ,从而市场需求(反)函数是()p U x '=。

假设政府可以强制市场价格定在某一特定水平,从而控制厂商的产量;同时,作为对厂商的补偿,政府向厂商发放补贴0T ≥。

在这种政策下,厂商的利润是()i U x x x T θ'-+如果这个利润小于零,厂商将停产。

政府的目标是使下列函数最大化:()i U x x T θ--推导政府的最优干涉政策。

解:政府可考虑一个两可的干预补贴方案:[]11,p T 或[]22,p T ,根据市场需求条件,这等价于(),i i U x T '⎡⎤⎣⎦。

政府需要确定恰当的i x 和i T 。

在上述政策下,企业的参与约束及自选择约束分别为:类型 参与约束自选择约束1111110p x x T θ-+≥11111221220p x x T p x x T θθ-+≥≥-+(束紧)2222220p x x T θ-+≥(束紧)22222112110p x x T p x x T θθ-+≥≥-+因此,政府面临的问题是:()()()11112222max 1U x x T U x x T γθγθ--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦..st ()()1122112220U x x U x x x x T θθ''--+-=()222220U x x x T θ'-+=一阶必要条件是:()()()111111110LU x U x U x x x γθλθ∂''''=--+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()()221222222222210LU x U x U x x U x U x x x γθλθλθ∂'''''''=-----+-+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∂ 110LT γλ∂=--=∂ ()12210LT γλλ∂=--+-=∂ 解得1λγ=-,21λ=,从而有:()()111112U x U x x θ***'''=- ()()1222212U x U x x θθγγ***++'''=- ()()()()1111212111212T U x x x p x x θθθθθθ*******⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦ ()()2222222T U x x p x θθ*****⎡⎤'=-=-⎣⎦ 上述政策的经济含义:信息对称情况下的帕累托最优干预产量为()12,p p x x ,满足条件()p i i U x θ'=。

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