流线族与等势线族正交。
5.4 平面势流与基本解
2 0
v x
u y
0
无旋流
存在速度势Φ
平面势流
平面流 不可压缩
u
x
,v
y
u x
v y
0
2 0
2 i 0
u
x
,v
y
存在流函数Ψ
2 i 0
挑选一些基本解φi(ψi)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
5.4.1 均流
物理背景
全流场以等速(U)做平行直线流动
a2
U
1
r
2
rsin
二、流场分析
lnr
2
2
1. 速度分布
在圆柱面(S)上
vr
U
1
a2 r2
cos
v
U 1
a2 r2
sin
vrs 0
vs 2Usin
2. 求解驻点位置(θcr)
2Usincr
x
u kx,
1 2
kx2
f(
y)
y
f
'(
y
)
v
ky,
f
(
y
)
1 2
ky
2
C
上式中C为常数。速度势函数为
1 2
k(
x2
y2
)
C
(a)
等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第
二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2中的虚线所示。
（2）再计算速度散度
求： 解：
加成一平面流场。 （1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程； （4）画出零流线及部分流线图。 （1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为
Ursin
Q
2
(a)
（2）速度分布式为
Urcos
Q
2
lnr
(b)
vr
r
Ucos
Q
2 r
(c)
v
1 r
Usin
(d)
（3）流线方程为
Ursin
Q
2
A,
Q 2
零流线方程为
r
Q
2U
sin
b( sin
)
(g)
零流线及部分流线如图CE2.4.4所示，右半部分所围区域称为兰金(Rankine)
半体，在无穷远处θ→0和2π，零流线的两支趋于平行。 由（g）式可确定两支距x轴的距离分别为
y0 (rsin ) 0,2 [b( )] 0,2 b
流体力学
集美大学机械工程学院
第五章 理想流体不可压缩无粘性流体平面势流
5.1引言
概念 平面势流 解 法
应用
无粘流
欧拉运动方程
无旋流
速度势函数
平面不可压缩
流函数
拉普拉斯方程
基本解
复势理论
伯努利积分
理论
绕圆柱流动 绕机翼流动
机翼升力、诱导阻力
实 际 水波运动
叶栅理论
速度场 压强场
5.2 一般概念
1. 欧拉运动方程 （无粘）
v t
v
v
f
p
兰姆—葛罗米柯方程 （无粘)
Байду номын сангаас
v t
v2 2
v
v
f
p
2. 欧拉积分（无粘、无旋 v2
dp
正压、重力 、定常）
gz
常数 (全流场）
2
伯努利积分（无粘、无旋 v2
p
不可压、重力、定常）
gz
2
常数 （全流场）
3. 斯托克斯定理 （封闭曲线、涡束）
蜒l v dr A ndA
当源汇位于原点O，势函数和流函数为
Q lnr 2
Q 2
速度分布式为
vr
r
Q
2 r
v
1 r
0
5.4.3 点涡
物理背景: 与平面垂直的直涡线（强度为Γ）诱导的流场。 当点涡位于原点O，势函数和流函数为
速度分布式为
2
lnr 2
vr
r
0
v
1 r
2 r
5.4.4 偶极子
物理背景 点源点汇无限接近(δ→0)形成的流场。 （偶极矩M = Qδ= 常数，源→汇）
v
u x
v y
k
k
0
y
u kx,
kxy g( x )
x
ky g'(
x ) v ky,
g'( x ) 0,
g( x ) C
上式中C为常数，流函数为
kxyC
(b)
流线方程为xy=常数，在xy平面上是分别以x,y轴为渐近线的双曲线 族，如图CE2.3.2中的实线所示。x,y轴也是流线，称其为零流线。
[例] 90°角域流的速度势和流函数
已知: 90°角域流的速度分布式为：u=kx,v=-ky（k为常数）。
求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；
解：（1）先计算速度旋度
说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)，由（C2.3.2）式
4. 开尔文定理（无粘 正压、有势力）
d 0（沿封闭流体线）
dt
5.3 速度势与流函数
名称 : 势函数
流函数
条件: 无旋流
v u
引入:
0 z x y
平面不可压缩流
v u v 0
x y
定义:
u ,v=
x y
u ,v=
y
x
等值线: Φ=C (等势线) Ψ=C (流线）
性质: 等势线与速度垂直 流线与等势线正交
速度分布 势函数 流函数
u U ,v 0
Ux Urcos Uy Ursin
u Ucos ,v Usin
U xcos ysin U ycos xsin
5.4.2 点源与点汇
物理背景
点源（Q > 0）：流体从一点均匀地流向各方向； 点汇（Q < 0）：流体从各方向均匀地流入一点。
Q
2
C
(e)
常数C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流 物体的轮廓线。
（4）零流线的左半支是负x轴的一部分（θ=π），驻点A（-b,0）由
（c）式决定
vr,
( Ucos
Q
2 r
)
U
Q
2 b
0
b
Q
2 U
(f)
通过驻点A（-b,0）的右半部分零流线由A点的流函数值决定
Ur
sin
当偶极子位于原点
vr
M
2
cos
r2
v
M
2
sin
r2
M
2
cos
r
M
2
x x2 y2
M
2
sin
r
M
2
y x2 y2
等势线Φ=C 流线 Ψ=C
x
1 2C
2
y2
1 4C 2
x2
y
1 2C
2
1 4C 2
[例] 兰金半体绕流：均流+点源
已知: 位于原点的强度为Q（Q＞0）的点源与沿x方向速度为U的均流叠
在圆柱面(S)上
v
U 1
a2 r2
sin
vrs 0
vs 2Usin
2. 圆柱面上压强分布
ps
p
1 2
U
2
1 4sin2
表面压强系数
Cp
ps p
1 U 2
1 4sin2
2
3. 压强合力 Fx=0（达朗贝尔佯缪），Fy=0
5.5.2 有环量圆柱绕流
一、求解流场
在无环量圆柱绕流流场中再叠加一个点涡（顺时针）
5.5 绕圆柱的平面势流
5.5.1 无环量圆柱绕流 一、求解流场 基本解叠加
求流函数
边界条件
均流
1 Ursin
偶极子
2
M 2
sin r
圆柱面为零流线
r a, 0
同理
1 2
U
M 2 r
2
rsin
U
1
a2 r2
rsin
U
1
a2 r2
rcos
M 2 a2U
二、流场分析
1. 速度分布