厚度）的体积流量等于两条流线的流函数之差，
与流线形状无关。
QAB
ABVndS
dx dy
AB x
y
B d
A
B A
§4 理想不可压缩流体的平面势流
三、速度势函数
1、速度势函数 存在的条件：
在无旋流动中每一个流体微团的速度都要以下条件：
u w z x
v u x y
w v y z
u v 0 x y
u v （连续性方程） x y
udy vdx 0 （流线方程）
根据数学分析可知，不可压缩流体平面流动的连续性条件是 udy vdx 0 成
为某一函数全微分的充分和必要条件，这个函数为流函数 。
d dx dy vdx udy
x
y
u
y
v
x
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z4 z5 h z3 h
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g(z3
h)
p3
m gh
(e)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
V22 V12 ( m 1)gh
2
由连续性方程
V2
A1 A2
V1
由一维平均流动伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
(a)
移项可得
V22
V12 2
(gz1
p1
)
(
gz
2
p2 )
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1
p1
gz3
p3
(c)
gz2
p2
gz4
p4
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
v u y
fx
1
p x
v t
u v x
v v y
fy
1
p y
V
V V
g
1
p
t
不可压缩
u v 0 或 V 0 x y
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二、理想、不可压缩流体一元定常流动的基本方程
沿流线的一元流动微分方程
V V f 1 p
l
l
f grad ∏为力势函数 l
DV
g
1
p
2V
Dt
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体
u t
u
u x
v
u y
w u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w v z
gy
1
p y
w t
u
w x
v
w y
w w z
gz
1
p z
v
DV g 1 p
Dt
V
V V
g
1
p
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
DV g 1 p
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿同一条流线 的伯努利方程
V12 2
gz1
p1
V22 2
gz2
p2
V22 2
V12 2
g(z2
z1)
p1 p2
伯努利方程的几何意义和能量意义
z p V2 H
g 2 g
位势头
静压头
质点的位置高度 相当的高度
速度头 总机械能
相当的高度
伯努利方程中每一项的量纲与长度单位相同，表示
平面势流流动：
1、平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，由两个坐标唯一确 定该点的流动参数，且流动是无旋的。
2、满足上述要求的有轴对称流动问题和相互平行的所 有平面上的流动情况完全一样的流动问题
3、在实际情况中不存在平行平面完全一样的流动。 为了简化，这类问题只是近似地作二元流动问题来处理
§4 理想不可压缩流体的平面势流
p0 p (m )gh
(e)
由(c) , (e)式可得
(m
) gh
k
1 2
v 2
(d)
k 称为毕托管系数。由(d)式可得
v k( m 1) 2gh
伯努利方程的应用
3）文特里管流量计
已知: 文特里管如图所示 求： 管内流量Q
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流 动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.
三元流动
u t
u
u x
v
u y
w
u z
gx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
w
v z
gy
1
p y
不可压缩
V
V
V
g
1
p
t
u v w 0 或 V 0 x y z
w t
u
w x
v
w y
w
w z
gz
1
p z
定常和不定常都适应
v
定常
V 0
t
§3 理想不可压缩流体的一元流动
二元流动
u t
u u x
连续性方程： 适用于不可压缩和可压缩，定常和非定常流动。
u v w 0
t x y z
D
Dt
u x
v y
w z
0
讨论： 1、定常流动：
0 V 0
t 适用于不可压缩和可压缩流动
2、不可压缩流动： D 0
Dt
V 0
适用于定常和非定常流动
§3 理想不可压缩流体的一元流动
理想、不可压缩流体基本微分方程组
§3 理想不可压缩流体的一元流动
一、流体运动的基本方程回顾
动量方程： 粘性、不可压缩流体
N-S方程
（粘性系数为常数）
Du Dt
gx
1
p x
2u x2
2u y 2
2u z 2
Dv Dt
gy
1
p y
2v x2
2v y 2
2v z 2
Dw Dt
gz
1
p z
2w x2
2w y 2
2w z 2
x
y
上 d 0 ，流函数 都有各自的常数值，流函数的等值线就是流线。
§4 理想不可压缩流体的平面势流
4、对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和
函数。
u
y v
x
z 0
v u 0 x y
2
x 2
2
y 2
2
0
满足拉普拉斯方程
5、平面流动中，通过两条流线间任意一曲线（单位
伯努利方程： 理想、不可压缩、定常平面流动，不考虑重力，无旋流动
p 1 V 2 C '
2
讨论：和一元伯努利方程形式完全相同，但 1、一元方程只适用于同一条流线，与流动是否有旋无关 2、二元方程是在无旋下得到的，适用于整个流场
§4 理想不可压缩流体的平面势流
二、流函数 1、流函数的引入
对于不可压缩流体的平面流动有连续性方程如下：
(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
小孔出流量
Ae
A
收缩截面面积 / 孔口面积 (c)
Q vAe vA A 2gh
(d)
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关，实际的孔口流速会
比理论流速低一些，可以定义速度系数k，即实际平均速
度/理论速度。
重力场中的一元流动微分方程
V V 1 p
l l Hale Waihona Puke lfl g cos g z l
§3 理想不可压缩流体的一元流动
沿流线积分
V V 1 p
l l l
1V 2
2
dp
C
C
gz
V 2 gz p C
2
伯努利（Bernoulli）方程
在重力作用下，不可压缩理想流体作定常流动时，沿同一条流线单位质量流体 的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，但可转换。
锐角边ε= 0.61~0.66, k=0.97~0.99
流线型圆弧边ε=1.0，k=0.98
内伸管ε= 0.5,
实际孔口出流应为：
Q kA 2gh A 2gh (e)
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h)应 考虑速度不均匀分布的影响。
伯努利方程的应用
2）毕托测速管
已知: 设毕托管正前方的流速 保持为v,静压强为p,流体密度为 ρ,U 形管中液体密度ρm .
求： 用液位差Δh表示流速v
毕托测速管
解： 设流动符合不可压缩无粘性流体 定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v2 2
gz A
p
v02 2
Dt
V
V V
g
1
p
t
讨论：
1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。
2、 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 Dt