zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
x
切应力互等定律
恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程
1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
例：已知不可压流体速度,
u x y z , v xy yz zx
2 2 2
u v w 解： 不可压流体 V 0 0 x y z w 2x x z 0 z w 3 x z z 1 2 w z 3 xz f ( x , y , t ) 2
vD D uD C vC
v yt y
D
B A
uC
y
v A u B vB uB
u x t x
x
线变形率
u x x
x
7.1 流体微团的运动分 析 三、角变形率
1. 角变形
y
u yt y
u tg t C y
D vD D uD C uC vC
第七章
不可压缩流体动力学 基础
重点、难点内容
流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理
第一节
流体微团运动的分析
分析流场中任意流体微团运动是研 究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多， 流体微团基本运动形式有平移运动，旋 转运动和变形运动等，而变形运动又包 括线变形和角变形两种。
( v y ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt ； Z方向： Y方向： y z
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
平移运动、旋转运动、线变形运动 和角变形运动
右图为任意t时刻 在平面流场中所取的一 个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运 动速度不一致，经过微 小的时间间隔后，该流 体微团的形状和大小会 发生变化，变成了斜四 边形。
7.1 流体微团的运动分 析 从xoy平面看速度分解
y C
vD
u D u v y，vD v y y C y
A 、 B 、 C 、 D 的流速分量
可见，微团上每一点 的速度都包含中心点的速度 以及由于坐标位置不同所引 起的速度增量两个组成部分。
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和 uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移 动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流体微团的平移运动 速度。
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) z方向： dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t
流体的瞬时质量为 X方向的瞬时动量为
dxdydz vx dxdydz
z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
在流场中任取一封闭曲线s则流速沿曲线 s的积分称为曲线s上的速度环量。并规定积分 沿s逆时针方向绕行为s的正方向。
第三节
不可压缩流体连续性微分方程
质量守恒
直角坐标系中的连续性方程
z dy
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz
vx dydz
vx dx dydz vx x
2
y
v A u
角变形率 B uB
x
vB
1 1 v u z lim ( ) t 0 2 t 2 x y x
旋转角速 度
1 1 v u z lim ( ) t 0 2 t 2 x y
流体微团的运动 形式与微团内各点速 度的变化有关。设方 形流体微团中心 M 的流速分量为 ux 和 uy （图 7-1 ) ，则微 团各侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
适用范围：
恒定流或非恒定流；
不可压缩流体或可压缩流体
当液体平衡时：
dux duy duz 0 dt dt dt
则可以得到欧拉平衡微分方程。
1 p X x
1 p Y y
1 p Z z
运动方程 应力状态及切应力互等定律
zz
yz
yz y dy
在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
微元体表面力的总力分量
xx yx zx X方向的表面力： dxdydz y z x
xy yy zy Y方向的表面力： dxdydz y z x
y
以应力表示的运动方程
x方向的运动方程：
xx yx zx ( x ) x x x x y z fx t x y z x y z
y方向的运动方程：
y y y y xy yy zy x y z fy t x y z x y z
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有： ( vx ) ( vy ) ( vz ) 或：
x y z
dxdydzdt dxdydzdt t
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 t x y z
线变形运动
微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方 向的速度差为 ，当这速度差值为正 时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负 时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
线变形速度
单位时间，单位长度的线变形 称为线变形速度。 以θx表示流体微团沿 x 方向的 线变形速度，则：
三元流动线变形速度
微团的旋转和角变形
涡线
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 通过这条曲线上的每一点所作出的 涡线构成一管状的曲面，称为涡管。
涡通量
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量 等于通确该曲线为边界的曲面 A 的 涡通量。
速度环量
通常，涡通量是利用速度环量这个概念来 计算的。
Z方向的表面力：
xz yz zz y z x
dxdydz
动量流量及动量变化率
vz vx
vz vx v y vx y
dy
动量流量
动量通量
dx dz
vx vx
vx vx x dx
u y u y u y 1 p duy u y Y (u x uy uz ) y dt t x y z
1 p duz u z u z u z u z Z (u x uy uz ) z dt t x y z
理想液体运动微分方程（欧拉运动微分方程）
t
连续性方程
矢量形式： ( ) 0
（适用于层流、湍流、牛 顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空 间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
若流体不可压缩：
v x v y v z 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间 内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。 适用范围：
旋转角速度
把对角线 的旋转角速度 定义为整个流 体微团在平面 上的旋转角速 度。
角变形速度
直角边 AMC （或BMD）与对角 线 EMF 的夹角的变 形速度定义为流体 微团的角变形速度。
亥姆霍兹速度分解定理
亥姆霍兹速度分解定理
第二节
有旋流动
流体微团的旋转角速度在流场内不完全 为零的流动称为有旋流动。
估算w。
理想液体运动微分方程
方程的物理意义：
以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
方程可简略表示成：
a F
方程左边是：任意时刻t通过考察 Dvx / Dt ax 点A的流体质点加速度的三个分量； 方程右边是：作用在单位体积流体上 的表面力和体积力在各坐标上的分量。
z
dy dz
自然界和工程中出现的流动大多数是有 旋流动，例如: 龙卷风 管道流体运动 绕流物体表面的边界层及其尾部后面的 流动。
有旋流动与无旋流动
无旋流动
有旋流动
涡量
涡量连续性微分方程
涡线及涡线微分方程
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体 质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡 线。 在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向 量在该点处与涡线相切。
z方向的运动方程： xz yz zz z z z z x y z fz
x
流通面积
vx vx
＝ 动量流量
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
y
vy vx