2．设时间序列{X t}满足 ARMA(2,1)
(1 − B + 0.5B2 ) Xt = (1 + 0.4B)εt ，
（1）试分析序列{X t}的平稳性，（2）计算前 3 个 Green 函数 G0 、 G1 、 G2 。
（1）此时特征方程为： λ2 − λ + 0.5 = 0 ，特征根满足| λ1,2 |= 2 2 < 1，序列{Xt}平稳。
Xˆ t (1) = EX t +1 = E(0.6 X t + εt − 0.5εt−1) = 0.6 X t + εt − 0.5εt−1 ，
Xˆ t (2) = EX t+2 = E(0.6 X t +1 + εt+1 − 0.5εt )
= 0.6EX t+1 − 0.5εt = 0.36X t + 0.1εt − 0.3εt−1 ；
界平稳。
（4） X t − 1.1X t −1 = εt ；
此时的特征方程为 λ2 − 1.1λ = 0 ，解得 λ1 = 1.1， λ2 = 0 ；模型序列不平稳。 （5） (1 − B)2 X t = εt ；
此时的特征方程为 (λ − 1)2 = 0 ，解得 λ1 = λ2 = 1 ；模型序列不平稳，但是临界平稳。
− θ1εt −2 )
=
−θ1σ
2 ε
；
ρ (1)
=
γ (1) γ (0)
=
− θ1 1 + θ12
，即
ρ (1)θ12
+ θ1
+
ρ (1)
=
0 ，根据可逆性要求，解得θ1
=
0.70
。
4．设时间序列{X t}满足 ARMA(1,1)
X t = 0.8X t −1 + εt − 0.6εt−1 ，
若 X100 = 0.3 、 ε100 = 0.01 ，试给出未来 3 期的预报值。
∞
∞
∑ ∑ （2）此时 X t = Gk Bkεt ，(1 − B + 0.5B2 ) Gk Bkεt = (1 + 0.4B)εt ，比较同次幂系数有：
k =0
k =0
G0 = 1， G1 − G0 = 0.4 ， Gk − Gk −1 + 0.5Gk −2 = 0 （ k ≥ 2 ）。
3．设某时间序列的前 10 个样本自相关系数 ρˆk 和样本偏自相关系数φˆkk 如下表：
8．求下述模型序列的前 5 个逆函数和逆转形式：
（1） X t − 0.5X t−1 = εt ；
∞
∑ 因为 εt = Ik X t −k = X t − 0.5X t−1 ，所以 I0 = 1， I1 = −0.5 ， I2 = I3 = I4 = 0 ； k =0
εt = (1 − 0.5B) Xt 。
5．设时间序列{X t}满足 ARMA(1,1)
X t = 0.5X t −1 + εt − 0.25εt −1 ，
其中 εt ~ WN (0,σ 2 ) ，（1）试求 ρ (1) ；（2）证明{Xt}的自相关系数满足 ρ2 = 0.5ρ1 。
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 此时 X t = Gkεt −k ，所以 Gkεt−k = 0.5 ε Gk t−1−k + εt − 0.25εt−1 ，比较两端系数有：
显然自相关系数 1 阶截尾，偏自相关系数拖尾；因此适用模型应为 MA(1) ：X t = εt − θ1εt −1 ；
此时 γ (0)
=
E(Xt Xt)
=
E (ε t
− θ1εt −1)(εt
− θ1εt −1)
=
(1
+
θ12
)σ
2 ε
，
γ
(1)
=
E( X t X t −1)
=
E (ε t
− θ1εt −1)(εt −1
（2） X t = εt − 1.3εt−1 + 0.4εt−2 ；
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 因为 X t = Ik X t−k − 1.3 Ik X t −1−k + 0.4 Ik X t−2−k ，比较两端系数就有：
k =0
k =0
k =0
0 = I4 −1.3I3 + 0.4I2 ， 0 = I3 −1.3I2 + 0.4I1 ， 0 = I2 −1.3I1 + 0.4I0 ， 0 = I1 −1.3I0 ，
ρ (1)
=
γ γ
(1) (0)
=
−0.33 ，
ρ (k )
=
γ γ
(k) (0)
=
0
（
k
≥
2
）。
（7）给出二阶自回归模型 AR(2)
X t = 0.5X t −1 + 0.2 X t−2 + εt
满足的 Yule-Walker 方程。
ρ(1) = 0.5 + 0.2ρ(1) ， ρ(2) = 0.5ρ(1) + 0.2 ；
(0.5)2k −1
k =1 ∞
(0.5)2k
≈
0.27 ；
k =0
∞
∑∑ （2）
ρ (2)
=
γ γ
(2) (0)
=
0.5G1 + G12
∞
1 + G12
(0.5)2k
k =1
(0.5)2k
k =0
∞
∞
∑ ∑ G1 + G12 (0.5)2k −1 0.5G1 + G12 (0.5)2k
=
k =1 ∞
k =1 ∞
= 0.5ρ(1) 。
∑ ∑ 1 + G12 (0.5)2k G1 + G12 (0.5)2k −1
k =0
k =1
6．证明：满足 AR(1) 的时间序列{Xt}方差为：
Var( X t )
=
σ
2 ε
1−φ2
；
特别当{X t}满足随机游走模型时，求{X t}的方差。
解：此时 X t = φX t −1 + εt ，
X t = 0.5X t −1 + aX t −2 + εt − 0.1εt −1 ， 确定 a 的取值范围，使模型平稳。 a − 0.5 < 1 ， a + 0.5 < 1， −1 < a < 1 ，所以平稳域为： −1 < a < 0.5 。
（6）给出一阶移动平均模型 MA(1)
的自相关函数。
此时 EX t = E(εt − 0.3εt−1) = 0
Xˆ100 (1) = EX101 = E(0.8X100 + ε101 − 0.6ε100 ) = 0.8X100 − 0.6ε100 = 0.234 ， Xˆ100 (2) = EX102 = E(0.8X101 + ε102 − 0.6ε101) = 0.8EX101 = 0.1872 ，
Xˆ100 (3) = EX103 = E(0.8X102 + ε103 − 0.6ε102 ) = 0.8EX102 = 0.149 εt
+
∞
Gkεt −k
k =1
=
∞
(1 + 0.4B (0.9)k −1 Bk −1)εt
k =1
=
(1
+
1
0.4B − 0.9B
)ε
t
，
X t − 0.9 X t−1 = εt − 0.5εt −1 。
11．对于模型 X t − 0.6 X t−1 = εt − 0.5εt −1 ，给出 l = 1和 l = 2 的预测。
k =0
k =0
k =0
G0 = 1， G1 = 0.5G0 − 0.25 = 0.25 ， G2 = 0.5G1 ， Gk = 0.5G2 = (0.5)k −1G1 ；
∞
∞
∑ ∑ γ
(0)
=
EX
2 t
=
Gk2 = 1 + G12
(0.5)2k ，
k =0
k =0
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ γ (1) = EX t X t −1 = E( Gkεt−k )( Gkεt −1−k ) = GkGk −1 = G1 + G12 (0.5)2k −1 ，
X t = εt − 0.3εt−1
γ
(0)
=
EX
2 t
=
E (ε t
−
0.3ε t −1 )(ε t
−
0.3ε t −1 )
=
0.91σ
2 ε
，
γ
(1)
=
E(Xt
X t −1)
=
E (ε t
−
0.3εt −1)(εt −1
−
0.3εt −2 )
=
−0.3σ
2 ε
，
γ (k) = E( X t X t −k ) = E(εt − 0.3εt −1)(εt −k − 0.3εt −k −1) = 0 （ k ≥ 2 ），
1 = I0 ；解得： I1 = −0.8 ， I2 = −0.64 ， I3 = −0.512 ， I4 = −0.4096 ；
∑ εt
=
1 − 0.5B 1 −1.3B + 0.4B2
Xt
=
1 1 − 0.8B
Xt
=
∞
(
i=0
0.8i ) X t
。
9．某序列的逆函数为： I1 = 0.5 ， Ik = 0.3(0.7)k −2 （ k ≥ 2 ），求模型表达式。