培优专题5 代数式的化简和求值用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的值，经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律．在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代入数值计算，从而到达简化计算的目的．在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等．例1已知x<-3，化简│3+│2-│1+x│││．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可以从里到外一层一层地去绝对值符号．解：∵x<-3，∴1+x<0，3+x<0原式=│3+│2+（1+x）││=│3+│3+x││=│3-（3+x）│=│-x│=-x．练习11．化简：3x2y-[2xy2-2（xy-32x2y）+xy]+3xy2．2．当x<-2时，化简|1|1||2xx+--．3．化简：│3x+1│+│2x-1│．例2 设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a33x+a22x+a1x+a0，求：（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；（3）a0+a2+a4的值．分析可以取x的特殊值．解：（1）当x=1时，等式左边=（2×1-1）5=1，等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0，∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．①（2）当x=-1时，等式左边=[2×（-1）-1]5=-243，等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0∴a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243．②（3）①+②得，2a0+2a2+2a2=-242．∴a0+a2+a4=-121．练习21．当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值等于_________．2．某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值时，•该生由于将式子中某一项前的“＋”号误看成“－”号，算得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号？3．已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a、b、c、d、e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35；那么e的值为（）．A．-6 B．6 C．-12 D．12例3若x y za b b c c a==---，求x+y+z的值．分析对于连等我们常设它们的比值为k，或用其中一个表示数的字母把其它的数表示出来．设x y za b b c c a==---=k，则：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，∴x+y+z=0 练习31．已知xy z+=y zx z x y=++，求xy z+．2．已知a=3b，c=5a，求a b ca b c+++-的值．3．已知1x-1y=2，求3533x xy yx xy y---++的值．例4 若a+b+c=0，且b c c a a b a b c---++=0， 求222222bc b c ca c a ab a b b c c a a b +-+-+-++的值． 分析 先代入使a+b+c=0、＝0成立的a 、b 、c 的特殊值，如a=b=1，c=-2，可求得所求代数式的值为0，给出求值方向．下面我们来说明所求代数式的值为0．解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc ，得：a 2bc+ab 2c+abc 2=0 ①由b c c a a b a b c---++=0，两边同乘以abc ，得： bc （b-c ）+ac （c-a ）+ab （a-b ）=0， 即 a 2（b-c ）+b 2（c-a ）+c 2（a-b ）=0． ②①+②得：a 2（bc+b-c ）+b 2（ac+c-a ）+c 2（ab+a-b ）=0两边同除以a 2b 2c 2得：222222bc b c ca c a ab a b b c c a a b+-+-+-++=0 ∴原式的值为0.练习41．已知（x-3）2+│n-2│=0，求代数式3x n +13x n-1-（x 3+13x n-1-3）的值．2．已知A=3x 2-9xy+y 2，B=3x 2-9xy-y 2，化简：2A-{3B-[A+2（B-A ）]}．3．如果无论x 取什么值，代数式34ax bx ++（分母不为零）都得到同样的值，那么a 与b•应满足什么条件？例5 已知三个正数a 、b 、c 满足abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值． 分析 本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a ，第三个分式的分子、分母同乘以ab ，达到通分的目的．解：原式=1a ab a +++2ab abc abc ab a a bc abc ab+++++ =1a ab a +++111ab ab a a ab+++++ =11a ab ab a ++++=1．练习51．若a 、b 为正数，且ab=1，求11a b a b +++的值．2．已知a+1b =1，b+1c =1，求c+1a 的值．3．若a 、b 、c 、d 是四个正数，且abcd=1， 求1111a b c d abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d +++++++++++++++的值．答案:练习11．xy2+xy．原式=3x2y-[2xy2-2xy+3x2y+xy]+3xy2=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2=xy2+xy．2．1 │+│1-x││（因为1-x>0）=│1+1-x│=│2-x│（因为2-x>0）=2-x∴原式=1．3．当x<13时，原式=-5x；当13≤x<12时，原式=x+2；当x≥12时，原式=5x．用零点区间讨论法：由3x+1=0、2x-1=0，得零点，x=-13，、x=12，把这两个零点标在数轴上，•可把数轴分为三部分，即x<-13、-13≤x<12、x≥12，这样就可以分类讨论化简原式了．当x<-13时，原式＝-（3x+1）-（2x-1）=-5x；当-13≤x〈12时，原式＝（3x+1）-（2x-1）=x+2；当x≥12时，原式＝（3x+1）+（2x-1）=5x．练习21．22．当x=2时，8a-2b+1=-17，即4a-b=-9；当x=-1时，-12a+3b-5=-3（4a-b）-5=-3×（-9）-5=22．2．5．设看错的是x的n次项前的符号，那么他计算的代数式实际是10x9+9x8+…+2x+1-2（n+1）x n，由题意得：10×（-1）9+9×（-1）8+…+2×（-1）+1-2（n+1）（-1）n=7，即（n+1）（-1）n=-6．∴n=5．3．A．当x=2时，27·a+25·b+23·c+2d+e=23 ①当x=-2时，-27·a-25·b-23·c-2d+e=-35 ②①+②得2e=-12，∴e=-6．选A．练习31．12或-1．设xy z+=y zx z x y=++=k，则：x=k（y+z）①；y=k（x+z）②；z=k（x+y）③．①+②+③得：x+y+z=2k（x+y+z），∴（x+y+z）（2k-1）=0．当x+y+z=0时，xy z+=xx-=-1，当2k-1=0时，k=12，即xy z+=12．2．-1911．c=5a=15b，把a=3b，c=15b代入原式，原式=3151931511b b b bb b b b++=+--=-1911．3．-115．由1x-1y=2，知y-x=2xy，故原式3()565()323y x xy xy xyy x xy xy xy-----=-++=-115．练习41．3 由题意知x=3，n=2．原式=3x n+13x n-1-x3-13x n-1+3=3x n-x3+3=3×32-33+3=3．2．2y2．原式=2A-{3B-[A+2B-2A]} =2A-{3B-A-2B+2A}=2A-3B+A+2B-2A=A-B=3x2-9xy+y2-（3x2-9xy-y2）=2y2．3．4a=3b．因不论x取什么值，代数式34axbx++的值都相同，所以我们可以取x=0，得：34axbx++=34，即不论x取什么值，该代数式的值都为34，再取x=1，得34axbx++=34，故4a=3b．练习5．1．1．由ab=1得，a=1b，故原式=111bb++1bb+=11b++1bb+=1．2．1．由题意知a=1-1b =1b b -，∴1a =1b b -． ∵1c =1-b ，∴c=11b -=-11b -． ∴c+1a =-11b -+1b b -=1． 3．1．利用abcd=1把它们化为同分母：1(1)1a a d ad abc ab a abc ab a d abd ad d ==+++++++++g g ； 1(1)1b b ad abd bcd bc b bcd bc b ad abd ad d ==+++++++++g g ； 11(1)1c c abd cda ad c cda cd c abd ad d abd==+++++++++g g ∴原式=1．。