高中数学:定积分与微积分基本定理练习
1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )
A ．e ＋1
B ．e
C ．e －1
2
D ．e ＋1
2
解析:⎠⎛0
1(3x ＋e x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2.(河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时,在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )
A ．5 m
B ．11
2 m C ．6 m
D ．132 m
解析:根据题意,汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时,汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛
1
2(3t ＋2)d t ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫3t 22＋2t |21＝13
2m,故选D ．
3.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lgx ，x ＞0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1,则a 的值为( A )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
解析:因为f (1)＝lg 1＝0,f (0)＝⎠⎛0
a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3,所以由f (f (1))＝1得a 3
＝1,所以a ＝1.
4．(孝义质检)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ,如⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
13 24＝1×4－2×3＝－2,那么⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎠⎛12
x d x 1 3 2)＝
( D )
A ．6
B ．3
C ．3
2
D ．0
5．(福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1
12,则a 的值为( C )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．－2
解析:f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ． 由题意得f ′(0)＝0,得b ＝0, ∴f (x )＝－x 2(x －a )． 由⎠⎛a
0(x 3－ax 2)d x ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝1
12,得a ＝±1.
函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0,另一个为A ．,根据图形可知a ＜0,即a ＝－1. 6.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC,则, ⎠⎛-1
1 [(x ＋1)f (x )]d x 等于( D )
A ．2
B ．－2,
C ．1
D ．－1
解析:由题图易知,f (x )＝⎩⎨⎧
－x －1，－1≤x ≤0，
x －1，0＜x ≤1，
所以⎠⎛-1
1 [(x ＋1)f (x )]d x
＝⎠⎛-10 (x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛-10
(－x 2
－2x －1)d x ＋⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－
13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |1
＝－13－23＝－1,故选D ．
7.(新疆第一次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1,直线y ＝－x ＋3,x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )
A ．3
B ．103
C ．7
3
D ．83
解析:由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,
由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝5(舍去)或⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝2，
即A(1,2),
结合图形可知,所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 3＋x |10＋2＝103. 8.(呼和浩特质检)若S 1＝⎠⎛
12x 2d x ,S
2＝⎠⎛12
1x d x ,S 3＝⎠⎛1
2e x
d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( B ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1
D ．S 3＜S 2＜S 1
解析:方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73
,,S 2＝ln x |2
1＝ln2＜lne ＝1, S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59,
所以S 2＜S 1＜S 3.
方法二 S 1,S 2,S 3分别表示曲线y ＝x 2,y ＝1
x ,y ＝e x 与直线x ＝1,x ＝2及x 轴围成的图形的面积,通过作图易知S 2＜S 1＜S 3.
9.若函数f (x )在R 上可导,f (x )＝x 3＋x 2f ′(1),则⎠⎛02f (x )d x ＝－4__.
解析:因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1),
所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．,所以f ′(1)＝3＋2f ′(1),解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3
－3x 2
.,故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛0
2(x 3
－3x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 4
4－x 3|20＝－4. 10.一物体作变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为494m ．
解析:由题图可知,v (t )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2t ，0≤t ＜1，2，1≤t ≤3，
13t ＋1，3＜t ≤6.
由变速直线运动的路程公式,可得
s ＝⎠⎜⎛126v (t
)d t ＝⎠
⎜⎛12
12t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t
＝t 2⎪⎪⎪⎪
1
12＋2t |31＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫16t 2
＋t |63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是49
4 m ．
11.设M ,m 分别是f (x )在区间[a ,b]上的最大值和最小值,则m (b －a )≤⎠⎛a b f (x )d x ≤M (b －a )．根
据上述估值定理可知定积分⎠⎛-1
2
2
－x 2
d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
316，3.
解析:因为当－1≤x ≤2时,0≤x 2≤4, 所以1
16≤2－x 2≤1.
根据估值定理得1
16×[2－(－1)]≤⎠
⎛-1
22－x 2d x ≤1×[2－(－1)],
即3
16≤⎠⎛-1
22－x 2d x ≤3.
12．如图,由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0＜t ＜1),x ＝1,x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是1
4 .
解析:设图中阴影部分的面积为S (t ),
则S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t
1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋1
3.
由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0,得t ＝1
2为S (t )在区间(0,1)上的最小值点,
此时S (t )m in ＝S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1
4.
13．(青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π－x )＝f (x ),若当0≤x ≤π
2时,f (x )＝cos x －1,则当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )
A ．π－2
B ．2π－4
C ．3π－6
D ．4π－8
解析:∵当0≤x ≤π
2时, f (x )＝cos x －1,
∴当π2＜x ≤π时,0≤π－x ＜π
2,f (x )＝f (π－x )＝cos(π－x )－1＝－cos x －1, ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos x －1，0≤x ≤π
2，
－cos x －1，π
2＜x ≤π.
所以当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面
14.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
由抛物线过点(0,－2),(－5,0),(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝2
25x 2－2,抛物线与x 轴围成的面积S 1＝
15.(郑州调研) ⎠⎛-1
1 (1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1
e －2.
16.(安徽六安第一中学模拟)已知a ＞0,⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x －x 6展开式的常数项为240,则⎠⎛－a a (x 2＋x cos x ＋
4－x 2)d x ＝16
3＋2π.。