2017届高三暑假自主学习测试试卷数学2016.9参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．设集合{}1,0,1-=M ，{}02≤+=x x x N ，则=N M ▲ ．2．命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是 ▲ ．3．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z -，若2z =z -+ 2 - 3i ，则z = ▲ ． 4．现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为 ▲ ．5．曲线x e y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ．6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是 ▲ ．第6题图7. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()(0)1f f +-＝ ▲ ．8. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，若12345,,,,a a a a a 的方差为8, 则d 的值为 ▲ ． 9. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 ▲ 3cm ．第9题图10. 已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3α=，53)sin(-=+βα，则cos β= ▲ ． 11．已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 12．圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．13．已知点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且AC n AB m AP +=,∈n m ,R ，则22(2)(2)m n -+-的取值范围是 ▲ ．14．已知2,0a b b +=>，当1||2||a a b+取最小值时，实数a 的值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=． （1）求A 的大小；（2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：EF ⊥平面PDC .17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，点P )1,3(在椭圆上，21F PF ∆的面积为22，点Q 是2PF 的延长线与椭圆的交点（1） ① 求椭圆C 的标准方程；② 若=∠1PQF 3π，求21QF QF ⋅的值. （2）直线k x y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.第17题图18．（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．（1）试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出θcos 的取值范围； （2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．第18题图19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，1=321n n a a n ++-． （1）求证：数列{}+n a n 为等比数列；（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；（2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围；（3）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x-≥成立，求实数a 的最大值．2017届高三暑假自主学习测试试卷数学2016. 9附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=︒，且19PD PB ==，，求EC ．B．选修4—2：矩阵与变换已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及2A．C．选修4—4：坐标系与参数方程自极点O任意作一条射线与直线cos3ρθ=相交于点M，在射线OM上取点P，使得12OM OP⋅=，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知：2a x∈≥，R．求证：|1|||x a x a-++-≥3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．23．（本小题满分10分）已知抛物线C的方程为22(0)y px p=>，点(1,2)R在抛物线C上．（第21-A题）（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1,1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ．若直线AR ,BR 分别交直线:22l y x =+于M ,N 两点，求线段MN 最小时直线AB 的方程．2017届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准2016.9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. {}0,1-2. 1>∀x ，使得22<x 3. i -2 4.315. 1+=x y6．30 7. 1- 8. ±2 9. 3 10. 15264+-11. 1(0,)2 12. 1)21()1(22=-+±y x 13. ）（8,29 14. 2-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）法一：在△ABC 中，由正弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， (3)即sin 2sin cos A A A =，因为(0π)A Î，，所以sin 0A ≠，所以1cos 2A =，…………………………6分所以π3A =. ……………………………………………………………………8分解法二：在△ABC 中，由余弦定理，及cos cos 2cos b C c B a A +=，得2222222222222a b c a c b b c a b c aab ac bc+-+-+-+=，…………………………3分所以222a b c bc =+-，所以2221cos 22b c a A bc +-==， (6)分因为(0π)A Î，，所以π3A = (8)分（2）由=cos AB AC cb A ⋅bc =11分所以△ABC 的面积为113=sin 60222S bc A =⨯=. (14)分16．证明：（1）连结AC ，因为正方形ABCD 中F 是BD 的中点，则F 是AC 的中点，又E 是PC的中点，在△CPA中，E F ∥P A ....................................................................................3分 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD (6)分（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ，又CD ⊥AD ，所以CD⊥平面PAD ， …………………………………………………………………………………8分又PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ，因为EF//PA ， ∴CD ⊥EF ……………………………………又PA=PD=2AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD又EF//PA，∴PD⊥EF ………………………………………………………………13分而CD ∩PD=D ，∴ PA ⊥平面PDC ，又EF ∥PA ，所以EF ⊥平面PDC (14)分17．解：（1）① 由条件，可设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，可知11922=+b a ，22=c ······················································ 2分又222c b a +=， 所以4,1222==b a ， 所以椭圆的标准方程为141222=+y x ·············································· 4分 ② 当3πθ=时，有⎪⎩⎪⎨⎧==⋅-+==+32)2(,342221222121c QF QF QF QF a QF QF (6)分所以31621=⋅QF QF ································································ 8分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx y y x 141222，得01236422=-++k kx x · (10)分412,4123,2322122121-=-=-=+k y y k x x k x x ，···························· 12分因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则0622121=-=+=⋅k y y x x ， 解得6±=k ，此时0120>=∆，满足条件 因此6±=k ················································································ 14分 18． 解：（1）过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G ． 在RT BNF ∆中，16cos BF θ=，则2016cos MG θ=-在RT MNG ∆中，2016cos sin MN θθ-=，··············4分由题意易得16()2CN πθ=-························6分 因此，2016cos ()216(),sin 2W a a θπθθθ-=⋅+- ················7分)54,0(cos ∈θ ···················································9分（2）2245cos (2cos 1)(cos 2)()168=8sin sin W a a a θθθθθθ---=-+，令()=0W θ，，1cos 2θ= ，因为1(,)2πθ，所以3πθ= ，············································12分设锐角1θ满足14cos 5θ=， ），（301πθ∈当1(,)3πθθ∈时，()<0W θ，，()W θ单调递减；当(,)32ππθ∈时，()>0W θ，，()W θ单调递增．························································14分所以当3πθ=，总造价W 最小，最小值为8)3a π，此时MN =NG =NF =，因此当AM =米时，能使总造价最小．········································16分19．解（1）∵1=321n n a a n ++-,∴)(311n a n a n n +=+++． 又12a =，∴0,0>+>n a a n n ,故311=++++na n a n n ，{}n a n ∴+是以3为首项，公比为3的等比数列 (4)分（2）由（1）知道+3n n a n =，3n n b n λ∴=-. (6)分123(1)333(123)(31)22n n n n n T n λλ+∴=+++-++++=--L L . ………………8分若3T 为数列{}n T 中的最小项，则对*n ∀∈N 有3(1)(31)39622n n n λλ+--≥-恒成立即12381(12)n n n λ+-≥+-对*n ∀∈N 恒成立 ……………………10分1当1n =时，有13365T T λ≥⇒≥；2当2n =时,有239T T λ≥⇒≥； ………………12分3当4n ≥时，212(4)(3)0n n n n +-=+->恒成立,1238112n n n λ+-∴≤+-对4n ∀≥恒成立.令12381()12n f n n n +-=+-，则0)12)(103()1(162)262(3)()1(2221>-+-+++-=-++n n n n n n n f n f n 对4n ∀≥恒成立,12381()12n f n n n +-∴=+-在4n ≥时为单调递增数列.(4)f λ∴≤，即814λ≤. ………………………15分 综上，8194λ≤≤. ………………………16分 20．解（1）1()1f x x'=-，令()0f x '=，则1x =，当1t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递增，()f x 的最小值为()ln f t t t =-； ………………………1分当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，()f x 的最小值为(1)1f =.综上，当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-. …………………3分 （2）2()(1)ln h x x a x x =-++,对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<,则由1212()()1,h x h x x x ->-可得1212()()h x h x x x -<-，变形得1122()()h x x h x x -<-恒成立， ………………………5分 令2()()(2)ln F x h x x x a x x =-=-++，则2()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)+∞上单调递增， 故1()2(2)0F x x a x'=-++≥在(0,)+∞恒成立， ………………………7分 12(2)x a x∴+≥+在(0,)+∞恒成立. 12x x+≥2x =时取""=， 2a ∴≤. (10)分（3）()()a g x f x x-≥， 2(1)2l na x x x x ∴+≤-. (0,1]x ∈，1(1,2]x ∴+∈，(0,1]x ∴∃∈使得22ln 1x x xa x -≤+成立. 令22ln ()1x x x t x x -=+，则2223l n 1()(1)x x x t x x +--'=+， (12)分令223ln 1y x x x =+--，则由(1)(41)0x x y x +-'== 可得14x =或1x =-（舍）当1(0,)4x ∈时0y '<，则223ln 1y x x x =+--在1(0,)4上单调递减；当1(,)4x ∈+∞时0y '>，则223ln 1y x x x =+--在1(,)4+∞上单调递增.1ln 408y ∴>->()0t x '∴>在(0,1]x ∈上恒成立. ()t x ∴在(0,1]上单调递增.(1)a t ∴≤，即1a ≤. ………………………15分∴实数a 的最大值为1. ………………………16分附加题21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：弦切角60PAE ABC ∠=∠=︒，又PA PE =，所以PAE △为等边三角形，由切割线定理有29PA PD PB =⋅=， …………………5分 所以3AE EP PA ===，2ED EP PD =-=，6EB PB PE =-=，由相交弦定理有：12EC EA EB ED ⋅=⋅=，1234EC =÷=．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：由条件可知1221411a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴2224a λλ+=⎧⎨-+=⎩，解得2a λ==． ………………… 5分因此1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以212121101414514A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：设(,)P ρθ，M (,)ρθ'，∵12OM OP ⋅=，∴12ρρ'=． ∵cos 3ρθ'=，∴12cos 3θρ⋅=．则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………………… 5分∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ，得24cos ρρθ=．∴2240x y x +-=． ……………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲 解：证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．…………………………… 6分 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．……………………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22. 解：（1）记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A ．213222531()5C C P A C C ==． ·······················································3分 故在一次游戏中摸出3个白球的概率15． ········································4分 （2）X 的所有可能取值为0，1，21233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=． X 的分布列为··············8分故X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．··············· ·························10分 （或：∵)107,2(~B X ，∴ 77()2105E X =⨯=，同样给分）23．解：（1）将(1,2)R 代入抛物线中，可得2p =，所以抛物线方程为24y x = ……3分（2）设AB 所在直线方程为(1)1(0)x m y m =-+≠，1122(,),(,)A x y B x y 与抛物线联立241y xx my m ⎧=⎨=-+⎩得： 244(1)0y my m -+-=，所以12124,4(1)y y m y y m +==- (5)分设AR ：1(1)2y k x =-+，由1(1)222y k x y x =-+⎧⎨=+⎩得112M k x k =-，而11121112241214y y k y x y --===-+- 可得12M x y =-，同理22N x y =-所以|||M N MN x x =-= (8)分令1(0)m t t -=≠，则1m t =+所以|||M N MN x x =-=≥ 此时1m =-，AB 所在直线方程为：20x y +-=……10分。