高等数学上重要知识点
归纳
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
高等数学（上）重要知识点归纳
（粗体带下划线是重中之重，必须掌握）
第一章 函数的极限与连续
一、极限的定义与性质 1、定义(了解） 2、性质
(1))()()(lim 0
x A x f A x f x
x α+=⇔=→，其中)(x α为0x x →时的无穷小。
(2)(唯一性)若A x f x
x =→)(lim
，B x f x x =→)(lim 0
，则B A =。
(3)无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具
1、两个重要极限公式 (1)1sin lim 0=∆∆→∆ (2)e =◊
+◊
∞
→◊)11(lim 2、两个准则（了解即可） (1) 夹逼准则 (2)单调有界准则 3、等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时
（1)∆∆~sin （2）∆∆~tan （3）∆∆~arcsin （4)∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）22
1
~cos 1∆∆- （8）n
n ∆-∆+~
11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6、用定积分定义 三、无穷小阶的比较 高阶、同阶、等价
四、连续与间断点的分类
1、连续的定义（函数在某点连续的证明）
)(x f 在a 点连续
2、间断点的分类⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动）
）无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理
第二章 导数与微分
一、导数的概念 1、导数的定义 2、左右导数 左导数a
x a f x f x y a f a x x --=∆∆='-
-
→→∆-)
()(lim
lim
)(0 右导数a
x a f x f x y a f a x x --=∆∆='+
+
→→∆+)
()(lim
lim
)(0 3、导数的几何意义 4、导数的物理意义
5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。
可导→ 二、导数的运算
1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2
)(v
v
u v u v
u '
-'='
2、复合函数求导 （链式法则） 设)]([x f y ϕ=，一定条件下x
u u y dx
du
du dy dx dy ''== 3、反函数求导
设)()(1y f x x f y -==和互为反函数，一定条件下：y
x x y '='1 4、求导基本公式（要熟记）见P60-61
5、隐函数求导 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导，其中要注意到：y 是中间变量，然后再解出y '
6、对数求导法则 主要用于：幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 方法：先对函数式两边取对数，再用隐函数求导法得到y '
7、参数方程确定函数的求导 ⎩⎨
⎧==)
()
(t y y t x x 设，一定条件下3
)
()(
,t t t t t t t t
t x x t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''
='=''''=='（可以不记公式，理解做题）
8、常用的高阶导数公式 （1）...)2,1,0(),2
sin(sin )(=+=n n x x n π
（2）
...)2,1,0(),2
cos(cos )
(=+=n n x x n π 三、微分的概念与运算 1、微分定义
若)(x o x A y ∆+∆=∆，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =∆=
2、公式：dx x f x x f dy )()('=∆'=
3、可微与可导的关系 两者等价
4、近似计算 当较小时，
||x ∆dy y ≈∆，x x f x x f x f ∆'+∆+≈)()()( 第三章 微分中值定理和导数的应用
一、微分中值定理 1、拉格朗日中值定理
当加上条件)()(b f a f =则演变成： 2、罗尔定理 0)(),,='∈∃ξξf b a 使得：（ 二、罗比达法则
记住：法则仅能对∞
∞
,00型直接用，对于,,0,1,,000∞∞-∞∞⋅∞转化后用. 幂指函数恒等式 f g g e f ln = 三、单调性判别
1、,0↑⇒>'y y ↓⇒<'y y 0
2、单调区间分界点：驻点和不可导点. 四、极值求法
1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.
2、求出可疑点后再加以判别.
3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.
4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大. 五、闭区间最值求法
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小. 六、凹凸性与拐点 1、,0⋃⇒>''y y ⋂⇒<''y y 0 2、拐点：曲线上凹凸分界点),(00y x .
横坐标0x 不外乎不存在或)(,0)(00x f x f ''=''，找到后再加以判别
0x 附近的二阶导数是否变号.
第四章（1） 不定积分
一、不定积分的概念
若在区间I 上，dx x f x dF x f x F )()(),()(=='亦， 则称.)()(的原函数为x f x F
称全体原函数F(x)+c 为f(x)的不定积分，记为⎰dx x f )(. 二、微分与积分的互逆关系
1、⎰⎰=⇔='dx x f dx x f d x f dx x f )()()(])([
2、⎰⎰+=⇔+='c x f x df c x f dx x f )()()()( 三、积分法
1、第一类换元法（凑微分法）
2、第二类换元法（去根号）三角代换 根式代换
3、分部积分法 （反对幂三指，确定u ）⎰⎰-=du v uv udv
4、常用的基本积分公式(要熟记).见P143
第四章（2） 定积分
一、定积分的定义 ∑⎰=→∆∆=n
i i i x b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξ 二、可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点.
三、几何意义 定积分等于面积的代数和. 四、主要性质
1、线性性质⎰⎰⎰±=±b
a
b
a b
a gdx k dx f k dx g k f k 2121)(
2、可加性 ⎰⎰⎰+=b a b
c c a 3、比较 在[a,b]上，有g f
≤，则dx g dx f b
a
b
a
⎰⎰≤
4、估值 在[a,b]上，⎰-≤≤-b
a a
b M dx x f a b m )()()( 5、积分中值定理
当f(x)在[a,b]上连续时：⎰∈-=b
a b a a b f dx x f ],[),)(()(ξξ 六、变上限积分函数
1、)(])([)()(],[)(x f dt t f dt t f x F b a x f x
a x a ='=⎰⎰可导，且连续，则在若 2、可导可导，则，连续，在若⎰=)
()()()()()(],[)(x x dt t f x F x x b a x f ϕψψϕ，且 七、牛顿-莱布尼茨公式 八、定积分的积分法
1、换元法 牢记：换元同时要换限
2、分部积分法 ⎰⎰-=b
a b a
b
a vdu uv udv |
3、特殊积分 （1）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-a a
a
x f dx x f x f dx x f 0)(,)(2)(,0)(为偶函数时
当为奇函数时
当
（2）当f(x)为周期为T 的周期函数时：
（3）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--==⎰⎰是正偶数时，！
是正奇数时，n n n n n n xdx xdx n n 2!!)!1(!!
)!1(cos sin 2020πππ
第五章 定积分应用
一、几何应用 1、面积
（1）直角坐标系中 dy
x x A dx
y y A b
a
b
a
）（）（左右下上-=-=⎰⎰
（2）参数函数 ),(,)
()
(:βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x C 则⎰'=βαdt t x t y A |)()(|
2、体积
（1）旋转体体积⎰=b
a x dx y V 2π ⎰=d
c y dy x V 2π 或⎰=b
a y dx xy V π2 （2）截面面积为)(x A A =的立体体积为⎰=b
a dx x A V )(。