三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
M
x dq
1 T xd
2
FN2xdx M 2 xdx T 2xdx
2EA
2EI
2GI p
整个杆件的变形能
V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GI p
M(x) FN(x)
注意：一般情况下，应变能为荷载的二次函 数，不能叠加。即几个荷载共同作用时的应变能 不等于每个荷载单独作用时的应变能之和。
外力作功
W
F
A D
弹性体内储存了应变能
B V
静载作用下：动能和其他能量均可不计
V W
弹性范围内，弹性体的变形是可逆的
超出弹性范围后，塑性变形将消耗一部分能量
本章讨论弹性问题
§3-2 应变能、余能
Ⅰ、 功
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物 体做了功
W F du
AB
恒力功: W FP D1 F
能，通常忽略不计
总结：线弹性杆件应变能的公式
拉伸(压缩)变形应变能：V
FN x 2 dx
l 2EA
T 2 x dx
扭转变形应变能： V l 2GI p
M 2 x dx
弯曲变形应变能： V l 2EI
例题
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图
所示。梁处于线弹性范围，且不计剪力的影响，试
l/ 0
2 F
2
F 2
ql 2
ql 2 2 2 l3 24
x2
F 2
ql 2
qx
3
q2 x4 4
F 2
ql 2
ql 4 64
q2l 5 640
dx
（4）求跨中挠度
wC
V F
F 0
1 EI
F 2
ql 2
l3 24
ql 4
128
F 0
5ql 4 384EI
二、杆件计算中的应用
应变能
M 2l V 2EI
q
m
l m
Oq
q
(三)弯曲
1.纯弯曲
应变能
M 2l V 2EI
2.横力弯曲中的弯曲应变能
F1
F2
x dx
剪力 Fs ( x) 剪切应变能
l
弯矩 M ( x) 弯曲应变能
微段
M 2 x dx
dV 2EI
dq
M(x)
M(x)
M 2 x dx
V l 2EI
dx
在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变
但当杆件发生组合变形时，在线弹性、小变 形条件下，每一基本变形的内力对其他的基本变 形并不做功，故组合变形杆的应变能等于各基本 变形应变能的叠加。
杆系结构的应变能等于结构中每一根杆件的 应变能之和。
V V i
应变能的特征
应变能恒为正标量，与坐标系的选取无关。 应变能仅与荷载的最终值有关，而与加载的
w1
V F0
F0 F
Fs F F F0
A
w2
w1
B
b、若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个广 义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：
w2
V Fs
Fs 0
M x M x
l
EI
(
Fs
) dx Fs 0
二、杆件计算中的应用 用卡氏第二定理计算杆件变形（位移）的步骤：
1、观察有无注意事项 2.列内力方程，对力求导
dx2
l 0
1 2 2
qx12 EI
2
dx1
l 0
1 ql 2 2 2EI
2
dx2
3q2l 5
20EI
习题 3-4 （C）
3F/2
x2
弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA。不计剪力 的影响，试计算结构的应变能。
解： CD段拉伸
FNCD
3F 2
AC段弯曲（以A为原点）
M
x1
Fx1
0
x1
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况：
应变能
V
FN2l 2EA
轴力沿轴线变化的情况:
dV
FN x 2 dx
2EA
应变能 V
FN x 2 dx
l 2EA
l
x
dx
l
FN ( x)
dx
F
Dl
(二)扭转 1、应变能
扭矩沿轴线不变的情况
线弹性范围内
W
1 2
M e
V
W
1 2
M e
Tl
GI p
Me T
3.
Di
V Fi
M M
T T
( )dx
( )dx
l EI Fi
l GIP Fi
例 图示梁的EI为常量，若不计剪力对变形的影响，试求截面C的
挠度wC。 解：令C处力为FC
1、列弯矩方程，并求导
BC段
FF
A
a Ca B
M x1 Fx1
M x1 0
FC CA段
0 x1 a
A
FC F
a)D i为沿广义力Fi方向的广义位移，Di为正表示与Fi方向
相同，为负表示与Fi方向相反，V 是整个结构的应变能
F
F
mm
b)仅适用于线弹性结构
3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数
例 试用卡氏第二定理求图示梁中点C的挠度。
解：弯矩方程
M(x) F x 2
l/2
x
F 2
F l/2 C
F 2
V
2E
4
F
7F 2l
8E d
2
习题 3-4 （b）
q
B x2 l
C l
弯曲刚度为EI，不计剪力、轴力的影响， 试计算结构的应变能。
解：AB段:（以A为原点）
x1 A
M
x1
1 2
qx12
0
x1
l
BC段:（以B为原点）
M
x2
1 2
ql 2
0
x2
l
V
l M 2 x1 0 2EI
dx1
l M 2 x2 0 2EI
1、弯曲梁： 将积分与求导次序颠倒，将使计算简化
V
M 2( x) dx
l 2EI
Di
V Fi
M(x) M(x) ( )dx
l EI Fi
2、只有轴力的桁架：
V
n FN2j l j j1 2 EAj
D i
V Fi
n FNj l j j1 EAj
FNj F i
3、组合变形
V
FN2 ( x) dx l 2EA
顺序无关。 在线弹性范围内，应变能为内力（或位移）
的二次齐次函数，故力作用的叠加原理不再 适用。
习题 3-1 （a）
线弹性材料，弹性模量为E。试计算 结构的应变能。
3l
2d
V
FN2i li 2EAi
8
l
d
4
F 2 3l
F2 l
8
2d 2
4
d 2
2E
2E
4
4
3l
2d
8
F 2 3l
8
2d 2
解： 1.求 q
FR A
m0 2a
B
FR D
m0 2a
列弯矩方程，并求导
DC段
2a
C
a x2
Mx1
CB段
m0 2a
x1
M x1 x1
m0 2a
a
Mx2
m0 2a
2a
m0
BA段 Mx3 0
M x2 1 Mmx03 0
m0
B m0 A x3
FR A
D
x1
FR D
Mx1
m0 2a