3
13 Pa 12 EI
3
M
能量法
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及
集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
能量法
解：(1)
ql / 8
2
1 wC EI
Xal 2a Xa 2 2a ql 3 a 2 3 2 3 12 2
l P 2 得：P wC1 m 2E I 2 ml 由此得： C wC1 8E I
2
能量法
例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，
求此杆长度的伸长量。已知E和m。
能量法
解：由位移互等定理知，①杆的伸长量等于 ②杆直径的减小量
l
①
d
②
e d e d
4 P P d d E AE
能量法
例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠
度
5ql w 384E I
4
。求梁在中点集中力P作用下(见
图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。
A
能量法
A
5ql q A P 384E I
能量法
4

可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。
能量法
§12-7 单位载荷法 莫尔积分
P1
P2
C

用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法
能量法
P1
P2
C
Fs ( x)

C
M ( x)
1 M ( x)d
M ( x) d dx EI
P0 1 Fs ( x)
M ( x)

n
2l l
6 3 1
6
A
A
5
(3 2 2 ) Fl F 2 FNi FNi li EA
B B 1
4
能量法
§13-8 计算莫尔积分的图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：
M ( x)M ( x) dx E I l
对于等直杆，EI=const，故只需计算积分
M ( x ) M ( x ) d x
FN ( x) T ( x) M ( x) Vε dx dx dx 2 E A( x) 2GI p ( x) 2 E I ( x) l l l
2
2
2
能量法
例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集
中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。
已知GIp、EI为常量。
能量法
M
Fs
Fs
d
d(l )

dW FNd(l ) Md Fs d

内

W
能量法
内
FN d(l ) Md Fs d




W
内
FN d(l ) Md Fs d




W外 ＝ Pi i
i 1
n

Pl / 4
Pl 48 E I
3

M
l/4
能量法
Pl / 4
max
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2
Pl 16 E I
2
M
能量法
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截
面的转角。
能量法
解：
ml wC 16 E I
2
M
能量法
R

S
AV
能量法
3 PR 3 PR 3 2GI p 2 EI
例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功
能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。
能量法
解： M ( ) PR sin
2

2 2
( PR sin ) M ( ) Rd Ve Rd 2E I 2EI 0 l P2 R3 8 EI 1 W P BV 2 R 由V e W , 得：
1 W P wB 2
2 3 ( Px) M ( x) P l dx Vε dx 2E I 2EI 6 EI 0 l
2
l
2
由 Vε W，得
Pl wB 3EI
3
()
能量法
例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C
截面的挠度。
能量法
Pb Pa x x 2 a b 1 2 M ( x) dx l dx Ve dx l 1 2 2 E I 2EI 2E I l 0 0
第十二章 能量法
§12-1 功能原理
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而 在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数 值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，
即
Ve=W
能量法
§12-2 杆件应变能计算
一、轴向拉伸和压缩
1 Pl 1 Vε W P l P 2 EA 2
l
能量法
M ( x) x tg
y
M ( x)
M ( x)M ( x)dx
l
tg x M ( x)dx
l
x
y
M ( x)
tg xC
MC
MC
能量法
M ( x)
C
M ( x)M ( x) dx EI l

M C
EI
M ( x)
MC
能量法
2
2
三、弯曲
纯弯曲：
2 2 1 m l 1 m l M l Ve W m m 2 EI 2E I 2E I 2
横力弯曲：
能量法
M ( x) Ve dx 2 E I ( x) l
2
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求
自由端B的挠度。
能量法
解：
M ( x) P x
5Pl A 384E I
4
§12-6 虚功原理
P1 P1
P2 P2
P3 P3

i
n
W ＝ Pi i
i 1
能量法

1.在虚位移中，杆件原有外力、内力保持不变，且 始终是平衡的；
2.虚位移满足边界条件和连续性条件；
3.符合小变形要求； 4.是实际发生的位移。
能量法
d
M
FN FN
l/4
A
1 ml 1 E I 2 3
ml 6E I
顺时针
M
能量法
B
1 ml 2 E I 2 3
ml 3E I
逆时针
M
能量法
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
能量法
解：
2 1 l ql 3l wB EI 3 2 4
解：T ( ) PR(1 cos ) , M ( ) PR sin
T ( ) M ( ) Ve Rd Rd 2GI p 2E I l l
2 2
3 P 2 R 3 P 2 R 3 4GI p 4E I 1 W P AV 2 由Ve W，得：
注意：上式中 δ应看成广义位移， 把单位力看成与广义位 移对应的广义力
能量法
例：试用莫尔定理计
算图(a)所示悬臂梁 自由端B的挠度和转 角。
P
A
x
l
B
1
A
x
B
1
A
能量法
B
x
解： (1)在B截面作用一单位力, 如图(b)所示 M ( x) Px, M ( x) x
Px M ( x)M ( x) Pl dx wB dx EI EI 3EI l 0
6 3
1
A
2
FN FN dx EA l
5 4
F
B
1 FNi FNi li EA
B 1
能量法
A
杆编号 1 2
杆长 l
i
FNi
F 2F F F 2F 2F
FNi
0 0 1 0
2 1
FNi FNi li
0 0 Fl 0 2 2 Fl 2Fl
3
4 5
l 2l l l
B
2 1 Pl 1 EI 2
Pl 2 EI
2
顺时针
M
能量法
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
能量法
解：
wmax
2 2 l ql 5l EI 3 2 8 32
2
ql / 8
2
5ql 384 E I
l 2
3

1
(2)在B截面作用一单位力偶, 如图(c)所示 M ( x) Px, M ( x) 1
Px Pl M ( x)M ( x) dx B dx E I 2 EI E I 0 l
2
能量法
l
1

例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切
口的张开量 ΔAB 。EI=常数。
ql 8E I
4

ql 2 2
M
能量法
B
2 1 l ql 1 EI 3 2
ql 6E I
3
顺时针
ql 2
2
M
能量法
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。