Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
证明(1)I
{ra
as
na
m
riasi
|
r, s, ri , si
R, m N *, n Z}.
i 1 m
ra as na riasi I
i 1m
ra as na riasi (a)
a,b I ab I
I是R的加法子环 又a I, r R ra I. I是R的理想
关于右理想的情况类似可证.
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Zhang Aili
Zhang Aili
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(1)(a)
{ra
as
na
m
ri asi
|
r,
s,
ri
,
si
R,
m
N
*,
n
Z}.
i1
(2)若R含有么元素, 则(a)
n{Βιβλιοθήκη ri asi|ri
,
si
R,
n
N
*}
i 1
(3)若a属于R的中心,则(a) {ra na | r R, nZ}
(4)Ra {ra | r R}是R的左理想, aR {ar | r R}是R的右理想.
证明 如果f : R S是环同态,则Kerf是(R,)的加法子群.
a,bKerf ,有f (ab) f (a) f (b) 0 abKerf a,Kerf ,r R有f (ra) f (r) f (a) f (a) f (r) 0 ra, ar Kerf
Kerf是R的理想. a,bImf ,x, y R有ab f (x) f (y) f (xy) abImf
若S是环R的子环,当R有单位元时, S未必有单位元.
若S是环R的子环,当S有单位元时, R未必有单位元.
若S是环R的子环,当S和R都有单位元时,未必有1R 1S.
若S是环R的子环,未必是R的理想.
例2 如果f : R S是环同态,则Kerf是R的理想. Imf是S的子环,但Im f不一定是S的理想.
若R有么元素,则a Ra, a aR. (5)若R有么元素并且a属于R的中心,则Ra (a) aR.
(6)若R有么元素而X包含在R的中心之中,则理想
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Zhang Aili
( X ) {r1a1 rnan | n N *, ri R, ai X}
Zhang Aili
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命题 令{Ai | i I}是环R的(左)理想族,则 Ai也是(左)理想. iI
定义3 设X是环R的子集合.令{Ai | i I}是包含X的(左)理想.
称 Ai为由X生成的(左)理想.这个理想表示成(X ). iI
X中的元素叫作理想(X )的生成元.
若X {x1, x2, , xn},记( X ) (x1, x2, , xn ), (X )称为有限生成的.
2.理 想
定义1 假设(R, , )是环而S是非空的子集合. 若S对于R的加法和乘法也构成环,则称S是R的子环.(S R)
定理1 假设(R, , )是环而S是非空的子集合.
S构成R的子环的充分必要条件是 : a,b S a b S
a,b S ab S
证明 ()S R S在R中加法和乘法分别构成群和半群.
Im f是(S,)的加法子群. Im f是S的子环.
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Zhang Aili
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定理2 环R的非空子集I是左理想
(1)a,b I a b I,且(2)a I, r R ra I.
r(c c) rc rc cr cr (c c)r
c cC
c, cC
r(cc) (rc)c c(rc) ccr (cc)r
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Zhang Aili
ccC. 故C是R的子环.
Zhang Aili
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a,b S,有a b S及ab S.
()由第一个条件可知S是(R,)的加法子群.
由第二个条件可知S是(R, )的乘法半群.
因为结合律、分配律在R中成立
结合律、分配律在S中成立.故S R.
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Zhang Aili
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Zhang Aili Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y
环R的非空子集I是右理想
(1)a,b I a b I,且(2)a I, r R ar I.
证明 ()设R的非空子集I是左理想
a,b I有a b I(因为I是R的子环)
R的非空子集I是左理想
a I, r R ra I. ()设a,b I a b I
I是R的加法子群 a I, r R ra I.
由一个元素生成的理想(x)叫作主理想. 若环的每个理想均是主理想, 称这环为主理想环.
是主理想环的整环称为主理想整环.
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Zhang Aili
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定理3 设R是环, a R, X R
显然I
{ra
as
i 1
na
m
riasi
|
r, s, ri , si
R, m N *, n Z}
i 1
是包含a的理想.
(a)
{ra
as
na
m
ri asi
|
r,
s,
ri
,
si
R,
m
N
*,
n
Z}.
i1
(2) ra ra1R, as 1R as, na n(1R a) (n1R )a
若R含有么元素,
定义2 设I是环R的子环. 若r R, x I rx I
若r R, x I xr I
则I叫作是环R的左理想. 则I叫作是环R的右理想.
若I同时是环R的左理想和右理想,则称I是R的一个理想.
例1 设R是环, R的中心是集合C {c R | cr rc,r R}
则C是R的子环.
证明 c,cC