数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编W O R D版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子
例1：求极限
.
1
sin
...
2
1
2
sin
1
sin
lim
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
π
π
π
[分析]由于是求数列的极限，即
∑
=
∞
→+
n
i
n
i
n
n
i
1
1
sin
lim
π
，其分子和分母同时都在变化，这时
可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i的项略去，同时配合放缩法进行求
解。

由于原数列分母随着i趋向到n，分母都会小于()1+n,他的倒数，即()
1
1
+
n小于
除了第一项的其他项，所以
∑∑
==
∞
→
∞
→+
≤
+
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
11
1
sin
lim
1
sin
lim
π
π。

同理，原数列分母随着i趋向到n，分母都会大于()n，他的倒数，即()
n
1
都会大于其
他项，所以
∑∑
==
∞
→
∞
→
≤
+
n
i
n
i
n
n n
n
i
i
n
n
i
11
sin
lim
1
sin
lim
π
π
由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：
令n i x =，1
1
+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：⎰∑⎰≤+≤=∞→1
01
10)sin(1sin lim )sin(dx x i
n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21
≤+≤∑=∞→n i n i
n n i 所以原题的极限为：
π2
.
例2：利用夹逼定理证明().211 (2)
111lim 2
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-∞→k k k n n n n k
n n [分析]观察到括号中的表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k
1...2111都是连续减的形式，一般情况
是想办法把它变换成加的形式。

观察到表达式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-k n n n n k
1 (2)
111中有k 个n 1相
加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-k n n n n n n 11
...211111，所以可以得到：()∑=+k
i i n n i
1
，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。

所以可得： 所以可得：
所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：
()2
1k
k +。