利用夹逼准则求极限
令狐文艳
夹逼准则的使用方法：
定理 1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。

要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。

题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限
推论 1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。

证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()
(lim 1)()(lim
x x x n x n βαβα== 例1.求
)
21 (4)
12
1(
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→.
解：
.
11lim 22lim 22lim 2121
lim
22
2222==++=++=++∞
→∞→∞→∞
→n n n n n n n n n n n n n
由推论1，
.
12
21 (4)
12
1212
2
2
2
2
→+≤
++
+++
+≤
+←
n n n
n n n n
n n
由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).
1
...2111(
lim 222n n n n n n n n +++++++++∞
→
解：.11lim 11
1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n
由
推论1，
.011 (211102)
2222→++≤+++++++++≤++←
n n n
n n n n n n n n n n n
由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求).
...2211(
lim 222n n n n
n n n n n +++++++++∞→
解： 由推论1，
2
1112)1(...221112)1(2122222→++⋅+<+++++++++<++⋅+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为21.
由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧 例
4.求!2lim
n n
n ∞→.
解：)
.(42...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤⨯⨯⨯⨯=< 且0
!4
lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n
例5.求
).
1(lim
>∞
→αα
n
n n
解：设),0(1>+=h h α则 从而
,)1(202h n n
n
-<
<
α因为,0)1(2
lim 2=-∞→h n n
由夹逼准则可知
.
0lim
=∞
→n
n n
α
例
6.求.1)!sin(lim 3
2+∞→n n n n
解：由于
,1
11)!sin(0333
232323
2n
n n n n n n n n n ==<+≤+≤
(三角函数有界性)
即3
3
2311)!sin(1n n n n n
<+<-,而,01
lim 1lim 33
==-∞→∞
→n n n n
由夹逼准则可知.01)
!sin(lim 3
2=+∞→n n n n
例7.求.
)321(lim 1n
n n
n ++∞
→
解：原式.
]1)32
()31[(3lim ]1)32()31[(3lim 1
1
n n n n n n n n ++=++=∞→∞→
因为1)32()31(0<+<n n ,3
1)32
()31(1<++<n n ,
两边同时乘以n 3得到133213
+<++<n n n n
,
再两边同时开n 次方根得到.33]321[311n
n n n
⨯<++<
当∞→n 时,
.
3lim 3133lim 3)33(lim 11
左边右边===⨯=⨯=⨯=∞
→∞
→∞
→n n
n n
n
故由夹逼准则可得.
3)321(lim 1=++∞→n
n n
n
例8.求[].
lim
x x x ∞
→
解：由取整函数的性质可知[].1x x x ≤≤-
当,0时>x [][]；
即111,1≤≤-≤≤-x x x x x x x x x 当,0时<x [][]；即111,1≥≥-≥≥-x x x x x x x x x
因为，1)1
1(lim =-∞→x x 由夹逼准则可得[].1lim =∞→x x x
例9.求).0,0(lim 0
>>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
→b x b x x αα
解由取整函数的性质可知)
0(1≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-x x b
x b x b ,
当0>x 时，各项乘以α
x
得到ααα
αb
x b x x
b
≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<
-
因为
,
)(
lim 0αα
α
b
x b
x =
-+
→由夹逼准则可得.lim 0
ααb
x b x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+
→。