第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim yx yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yx e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzyx z x 证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→yf y f f x f x f f y x y y x x0)()(0),(22→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则1、 设tv e v t u u z ===,sin ,，求dtdz解：dtdz =1cos .(sin )ln sin (sin )t te t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 2、 设,)(32yx y x z -+=，求yz x z ∂∂∂∂, 23123(23)()3()ln(),x y x y zx y x y x y x y y---∂=-+-++∂ 3、 设)(2xy f x z n=，f 可微，证明nz y z y x z x =∂∂+∂∂2 4、 设)2,(22xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂，y x z ∂∂∂2， 22y z ∂∂ 解：1222z xf yf x∂''=+∂ ,1222zyf xf y∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =221111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+222111122222484z f x f xyf y f x∂'''''''=+++∂,222111122222484z f y f xyf x f y ∂'''''''=-+-+∂5、 设)(),(yxg x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2解：1221z y f y f g x x y ∂'''=-+∂ ，2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y∂'''''''''''''=++--+--∂∂6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ϕ=，求dxdu解：dxdu ))(()(321x f f F x F F y x ϕϕ''+''+''+'=。

7、设),(v u z z =，且变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2 可把方程+∂∂226x z y x z ∂∂∂222y z ∂∂-=0 化为 02=∂∂∂v u z， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a证明：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂v za u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂2 2222222v u v u z uz x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 2222222244v u a v u z a u zy z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 222222)2(2v u a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂得：0)6()510(2222=∂∂-++∂∂∂+vu a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =ϕ 求 ).1(ϕ和)1(/ϕ (1) , (a+ab+ab 2+b 3)§ 5 隐函数的求导公式1、 设y x y y +=ln ，求dxdy解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y=-=∴=2、 设),(y x z z =由方程)(222yz yf z y x =++确定，其中f 可微，证明xz yzxy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--3、 设),(y x z z =由方程zy e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ∂∂∂2,1,)1(z zy z z x z x z +-=∂∂+=∂∂ y x z ∂∂∂23)1(z x z +-=4、 设⎩⎨⎧+==++222221y x z z y x ，求dx dy ，dx dz ( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求yzx z ∂∂∂∂,解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z F F F y zF F x F zz x F y F F xF F xF ''''++∂∂=-=-=-=-∂∂''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy=-+3)cos(3所确定，求xz∂∂, y z ∂∂ ,)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=∂∂ , )sin(31)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=∂∂§ 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4π=t处的切线及法平面方程解：切线方程为343z π-== 法平面方程0)43(3)2(2)2(2=-+-+--πz y x 2、 求曲线⎩⎨⎧+==++22222250y x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 053443-=--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面932222=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x及法线方程223121-=-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x 0),,(=⋅∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。