-0.5
0
0.5
1
向量之间的距离
x, y R , d ( x, y ) || x y || 称为x, y之间的距离
n
向量序列的极限
(k ) T x ( k ) ( x1( k ) ,, xn ) Rn ,
ห้องสมุดไป่ตู้
lim xi( k ) xi* , i
k

lim x
k k
x A1b x ' A1b A1e
相容性
A
1
x x ' x


A1e x


A1 e b / A
e A b
A b 1 x
相容性
b Ax b A x

矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
问题二，A 存在扰动： – 给定方程组Ax=b，其解为x*， – 另给定包含误差方程组（A+F）x=b，其解为x’，分析其误差。（A+F可 逆） 令 x’= x*+δx，将方程（A+F）x=b与Ax=b 做差，并展开，得到：
i 1
n
x1 y1
矩阵分析-D.YE
∞-范数:
x x

max | xi | 0
1i n
0 x 0;

x
max | xi || | max | xi || | x
1i n 1i n

x y
1 i n 1 i n

max | xi yi |
2
n
0 3 1 4 1
2
5
2
解:
A 1 max aij
1 j n i 1
n
max{ 2 ,5 ,2} 5
1 j n
A max aij
1i n j 1
max{ 3 , 4 ,2} 4
1i n
由于
A2
max ( AT A)
因此 A F 与 x 2 也是相容的。
2 1 n 1。 i 1 n
1. 矩阵范数不一定是算子（诱导）范数。
|| Ix || || x || x 0, 1, || x || || x ||
而 || I || F
2. 矩阵范数不一定都是相容的。
但不满足相容性。 || A || max aij 是矩阵范数， 例： 1 i , j n
A 0，且 A 0 A 0 ；
A A , R；
A B A B
（3） 三角不等式 ：
例如，令 A F 2 a ij i 1 j 1
n n

1
2
类似于向量的2-范数.
可以验证满足上述条件，称为Frobenius范数,简称F-范数.
由Rayleigh原理， n || x || 2 || x || A 1 || x || 2
矩阵分析-D.YE
范数等价性
对于任何有限维向量空间V上定义的任意两种范数||x||a,
||x||b, 都存在两个与x 无关的正常数C1, C2，使得
x
a
C1 || x || b ,
x (1, 4,3, 1)T
2
max ( AT A)
称A的2 范数
其中max ( AT A )为AT A的特征值的绝对值的最 大值
矩阵分析-D.YE
n n 2 A F aij i 1 j Ax 2 A 2 x

2
1
2
A 2 max ( AT A) A F
2
AF x
矩阵分析-D.YE
范数相容性： 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ,
若x R n , A R n n , 都有
Ax A x
则称所给的向量范数 和矩阵范数 相容；如果
AB

A

B , A, B R nn
则称该矩阵范数 是相容的
x0
Ax 1 x1
max aij ；
1 j n i 1
n
A的每列绝对值之和的最 大值,
(2) A max
x0
称A的列范数
n
Ax x

max aij ；
1i n j 1

A的每行绝对值之和的最 大值, 称A的行范数
(3) A 2 max
x0
Ax 2 x
3.0237
3.6056
AF
292
A1
容易计算 较常使用
A
A2
计算较复杂
AF
较少使用
对矩阵元素的 变化比较敏感 性质较好 使用最广泛
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
| i | ，其中 为 定义：矩阵A的谱半径记为 (A) = max i 1 i n A 的特征根。
性质：对于任意算子范数有： ( A) || A || 证明： 由算子范数相容性可得：
x
b
C 2 || x || a
例 1 求下列向量的各种常用范数
解:
x 1 x1 x2 x4 9 x
x
2

( x1 x2 x4
max xi
1i 4
2
2
2
)
1
2
27 3 3
4
矩阵分析-D.YE
向量范数的几何意义
P大于1，p范数为凸函数
(k )
x R
*
n
lim d ( x ( k ) , x* ) lim || x ( k ) x* || 0
k
矩阵分析-D.YE
矩阵范数
矩阵A R nn 的某个非负实值函数 N ( A) A ，
若对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件： （1） 正定性 ：
（2） 齐次性 ：
且 x
x2 x
矩阵分析-D.YE
向量的能量范数(自行验证, 利用正定矩阵
的分解A = UTU,参见教材第五章课后习题）：
设A R
nn
为对称正定阵， x R n ,
T 1/ 2
N A ( x) x A ( x Ax)
( a ij xi x j )
i , j 1
n
12
1/ p
x1 x2
p
p
1
x1 x2
p
p
1
P小于1，p范数不为凸函数 范数的凸性对求解最优 化问题很重要。 P=5范数 P=0.4范数
x1 sin 2 / p (t ), x2 cos 2 / p (t )
1 0.5 0 -0.5 -1 -1
矩阵分析-D.YE
P=2范数 P=1范数
1 1 2 2 A 如： 1 1 ， 2 2 ， B
4 4 AB 4 4 ，
|| AB || 4

|| A || || B || 2 1 2
矩阵分析-D.YE
例3
求矩阵A的各种常用范数
1 2 A 1 2 0 1
1
矩阵分析-D.YE
线性方程组的病态问题
例：线性方程组： 2 x1 3.00001x2 8.00002 的解为 x1＝， 1 x2＝2 若方程系数有一个小的扰动， 2 x1 3 x2 8 2 x1 2.99999 x2 8.00003 解此方程得 x1＝8.5， x2＝－3 2 x1 3 x2 8
n
1 p
x 1和 x
2
是 x p 在p 1和p 2时的特例
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
x
p
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x


( p 时),
1
所以 x

也是 x p的特例
矩阵分析-D.YE
矩阵的算子（诱导）范数：
N ( A) A v max
x0 xR n
Ax x
v
v
矩阵的算子（诱导）范数满足相容性条件：
(1) Ax
v
A
v
x v；
(2) AB v A v B v (A, B R nn )。
矩阵分析-D.YE
常用的矩阵算子（诱导）范数
(1) A 1 max
|| Ax || || A || || x || 将任意特征值对应的特征向量u带入得： | | || u || || u || || Au || || A || || u || A 由于为任意特征值，则 ( A) max | i | || A ||
矩阵分析-D.YE
因此先求AT A的特征值
1 T A A 2 0 1 0 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 0 1 0 9 1 1 1 2 1
1 1
矩阵分析-D.YE
矩阵范数的性质
1 性质：(算子范数） || ( E B) ||
1 , 如果 || B || 1 1 || B ||
证明： 如果 || B || 1, 则E B可逆.
否则x* 0, Bx* x*, || B || 1
E ( E B) ( E B) 1 ( E B) 1 B( E B) 1 ( E B) 1 E B( E B) 1 || ( E B) 1 || 1 || B |||| ( E B) 1 || || ( E B) 1 || (1 || B ||) 1 1 || ( E B) || 1 || B ||