基础强化（8）——解三角形
1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒
2、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++=== 3、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C ===A B ． 4、正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B =2R 5、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
6、三角形面积公式：
111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++ 7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．
8、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222
cos 2a b c C ab
+-=． 9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角
10、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
11.仰角与俯角，方向角与方位角
题型一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1. （1）在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
（2）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．
（3）在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．
（4）在△ABC 中，已知a =b ，45B =，求,A C 和c ．
（5）在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．
1 .在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C
= ． 2.在ΔABC 中，已知6
6cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值．
题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2．（1）在ABC ∆中，C b a cos 2=，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
（2）在ABC ∆中，若B A C sin cos 2sin =，则此三角形必是（ ）
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
（3）设ABC ∆的内角C ,B ,A 的对边分别为c b a ,,，若()cos a b c C =+,则ABC ∆的形状是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
1、在ABC ∆中，若,2lg sin lg lgcos lgsin =--C B A 则ABC ∆的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
2．在ABC ∆中，若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
题型三：与面积有关问题
例3、已知向量),sin 3,(sin x x m =),cos ,(sin x x n -= 设函数,)(n m x f ⋅= 若函数)(x g 的
图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称．
(1)求函数)(x g 在区间]6
,4[ππ-上的最大值，并求出此时x 的值； (2)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，若,23)()(=
-A g A f ,7=+c b ABC ∆的面积为,32 求边a 的长．
1.、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知,32cos =A .cos 5sin C B = (1)求C tan 的值；(2)若,2=
a 求ABC ∆的面积.
2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=
． （I ）求边AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数．
题型之四：三角形中求值问题
1. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．
2．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3
A =，（1）求
2
2tan sin 22
B C A ++的值；（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值。
3．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
题型五：解三角形中的最值问题
例5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3
C π=
（1） 求△ABC 周长的取值范围
（2） 求△ABC 面积的取值范围
1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos (cos )cos 0C A A B +=.
1）求角B 的大小；(2)若1a c +=，求b 的取值范围
2．△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.
(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
3.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
4. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A .
（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos A +sin C 的取值范围.
5.ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos
2
B C A ++取得最大值，并求出这个最大值。
题型六：图形中的解三角形
例6. 如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且
BD BC BD AB AD AB 2,32,===，则C sin 的值为
A.33
B.63
C.36
D.6
6 1.如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上, AC AD ⊥,
22sin ,32,33
BAC AB AD ∠===，则BD 的长为___ __. 题型七：正余弦定理解三角形的实际应用
（一）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、
B 两点，望对岸标记物
C ，测得∠CAB=30°，
∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
（二）遇险问题
2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
（三）追击问题
3.如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？
图1 A B C D 图3 A
B
C 北
45°
15°
西 北 南 东 A B
C 30° 15° 图2。