Me FBx l
Me M x1 FBx x1 ， l
M x2 FBx x2 FBx l
M x2 x2 l
M x1 x1 ，
将其代入
ΔBx
1 l 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 0 EI EI 0
14-2
图示各刚架，弯曲刚度 EI 均为常数。试求支反力，并画弯矩图。
1
题 14-2 图 （a）解：方法 1，常规解法 此为一度静不定问题。 解除 B 处水平约束（见图 14-2(a)之 1） ，代以多余反力 FBx 。
图 14-2(a) 由 M A 0 ，得
FBy
据图（1）与（2） ，列弯矩方程如下：
9F 3F FN1 1 2 FN1 FN1 2 1 0 4 2
得
FN1 F
由此得
FN2
F , 4
FN3
F 2
2. 角位移计算 施加单位力偶如图 d 所示，并同样以刚性杆 BC 与 DG 为研究对象，则由平衡方程
FNC FND
F 2
图 14-6 由双对称性可知，
C 0 ， A 0
据此可方便地求出 MC。求C 的载荷状态及单位状态示如图（b）和（c） 。 弯矩方程为
M M C
F R1 cos 2
9
M 1
将其代入
C
积分后，代入协调条件
1 π2 M M Rd EI 0
待求未知内力仅有 FSC 一个。
MC 0
求 ΔCy 的载荷状态及单位状态如图 14-9(b)所示。
图 14-9(b) 弯矩方程为
M x1 FSC x1 ，
M x2 FSC
l ql x2 2 2
M x1 x1 ，
将其代入
M x2
l 2
ΔCy
积分后，得
曲刚度 EI 为常数，试计算截面 B 的水平位移。
问题 2-2 图 解：1. 解静不定 图示曲杆属于一度静不定。设将铰支座 B 作为多余约束，则相当系统如图 b 所示，变形协调条 件为横截面 B 的铅垂位移为零，即
ΔBy 0
由图 b 可以看出，作用在微段 Rd上的切向微外力 qRd，在横截面引起的弯矩为
11
M
得
B
0, 1 F N2 2a F N3 3a 0
G
M
0,
F N2 2a F N3 a 0
F N2
于是得杆 BC 的转角为
1 , 4a
F N3
1 2a
BC
F N2 FN2 l F N3 FN3l 5Fl （） EA EA 16EAa
F 3a FN1 3a FN2 2a FN3 a 0
9F 3F 2 FN1 , FN3 FN1 4 2 单位载荷系统如图 c 所示，由上式并令 F=0 与 FN1=1，得相应内力为 FN2
F N2 2,
F N3 1
根据变形协调条件m/m’=0，并利用单位载荷法，得补充方程为
M M e
4M e sin π
M R1 cos
将其代入
Δ Ax
积分后，得到
1 π/2 M M Rd EI 0
ΔAx
π 2 2π 4 M e R 2 0.0658M e R 2
2π EI EI
（←）
14-4 图 a 所示圆弧形小曲率杆，轴线半径为 R，承受集度为 q 的均布剪切载荷作用。设弯
C 0
可得
MC
进而可求得
π2 FR 2π
MA
2．求A/B 令原题图中的 F=1，即为求A/B 的单位状态。 依据图（a） ，可以写出弯矩方程如下：
FR π
M
π2 F FR R1 cos 2π 2
π2 R R 1 cos 2π 2
并利用协调条件 ΔBx 0 ，可得
FBx
依据平衡条件，进而可得
Me （←） 2l
FBy
Me M M （↑） ， FAx e （→） ， FAy e （↓） 2l 2l 2l
2
方法 2，利用反对称性求解 刚架受力如图（3）所示，由平衡方程 M A 0 ，可直接求得合支反力 F，其值为
ΔAy
代入协调条件
R2 π FAy R M e EI 4
ΔAy 0
得
5
FAy
进而求得
4M e （↑） πR
FBx 0 ，
FBy
4M e （↓） ， πR
MB
4π M e （） π
求 ΔAx 的载荷状态及单位状态示如图（3）和（4） 。 弯矩方程为
1 l2 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 EI 0 EI 0
ΔCy
代入协调条件
7 FSC l 3 3ql 4 24EI
ΔCy 0
得
3 FSC ql （↑） 7
4
得
FCx
进而求得
F （←） π
FBx
（b）解：此为一度静不定问题。
F （→） π
求 ΔAy 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3（b） 。
图 14-3(b) 弯矩方程为
M M e FAy R sin
M R sin
将其代入
Δ Ay
积分后，得
1 π/2 M M Rd EI 0
M x1 x1 ，
将其代入
ΔBx
积分后，得
1 l 1 l M x1 M x1 dx1 M x2 M x2 dx2 EI 0 EI 0
ΔBx
代入协调条件
ql 4 1 4 FBx l 3 EI 3 6
ΔBx 0
得
FBx
第 14 章 静不定问题分析
14-1
试判断图示各结构的静不定度。
题 14-1 图 解： （a）在平面受力时，一个封闭框具有三个多余内约束，此问题又具有一个多余外约束，故 为四度静不定。 （b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安装此中间铰，使相连处在 x、y 两 个方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。 （c）在平面受力时，一个封闭圆环有三个多余内约束，安装一个中间铰，减少一个约束，现 安装两个中间铰，故为一度静不定。 （d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余内约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰， 减去两个约束，故为一度静不定。
0

(b)
在图 c 所示铅垂单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M ( ) R sin
根据单位载荷法，得相当系统横截面 B 的铅垂位移为
ΔBy
由此得
1 π/2 ( Rsin )qR2 ( sin ) FBy R sin Rd 0 EI
ΔBy R3 qR(4 π) FBy π 4 EI
弯矩图如图（3）所示。
ql 8
14-3
图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度 EI 为常数。试求支反力，对于题(b)，并计算截面 A
3
的水平位移。
题 14-3 图 （a）解：此为一度静不定问题。 由对称性可得
FBy FCy
F （↑） 2
又由于对称性（θA=0） ，求ΔCx 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3（a） 。
4
14-5
题 14-5 图 解：此为一度静不定问题。
7
选杆 BC 为多余杆，求切口处相对位移 Δe / e ' 的载荷状态及单位状态分别如图 14-5（a）和（b） 所示。
图 14-5 求相对位移 Δe / e ' 的过程列于下表：
i 1 2 3 4 5
li
a a a a
F Ni
1 2

FNi
图 14-3(a) 弯矩方程为
M FCx Rsin
F R1 cos 2
M Rsin
将其代入
ΔCx
积分后，得
1 π/2 M M Rd EI 0
ΔCx
代入协调条件
R3 π F FCx EI 4 4
ΔCx 0
M ( ) R(1 cos )
于是，得截面 B 的水平位移为
ΔBx
qR π 2 π 2 1 π/2 4 R(1 cos ) qR2 sin Rd 1 () EI 0 π EI 8 2 π
图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试求杆 BC 的轴力。
EA EA
5
N 5a
Fa
Δe / e '
代入协调条件
Δe / e' 0
得
FNBC FN 5
8
2 2 F 2
14-6
图示小曲率圆环，承受载荷 F 作用。设弯曲刚度 EI 为常数，试求截面 A 与 C 的弯
矩以及截面 A 与 B 的相对线位移。
题 14-6 图 解：1．求 M A 和 M C 此为三度静不定问题。有双对称性可利用。 由对称条件可得（图 14-6a）
FN 5 2 2
F Ni FNi li
FN 5a
2
2 2
1
1
2
2
F FN5
FN5 F a FN5 F a
FN 5a 2
F FN5
FN 5
2
1
2
2
2a