n 2 π 2 EI 4l 2 由上式并取 n=1，即得压杆的临界载荷为 Fcr (n 0,1,2,)
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
FN5 F
由此得
Fcr
π 2 EI π 2 EI 2l 2 ( 2l ) 2
2.当 F 向内时 此时杆 5 受拉，其余各杆（编号 1，2，3，4）受压。且
6
FN1 FN2 FN3 FN4
由此得
F 2
Fcr 2 (
π 2 EI 2π 2 EI ) 2 l l2
11-9 图 a 所示细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
持稳定平衡，试确定轴 BC 的直径 d。已知 F = 42 kN，切变模量 G = 79 GPa。
3
题 11-4 图 解：刚性杆 AB 在微偏斜（设偏斜角为 ，见图 11-4）状态下处于平衡，此时加给轴 BC 的扭力矩为
M B Fa
而

注意到 T M B ，于是得
Tl GI p
F
可见， A1 , A2和Fc 存在非零解的条件为
(1) (2) (3)
sin 0
kl 2
0 kl 2 kl kcos 2 sin
kcos
kl 2
l 1 4F c l 1 4F c 1 F
0
展开上列行列式，并注意到 F EIk 2 ，得
1 kl kl l 2k 2 EI kl sin [sin k ( )cos ] 0 2 2 2 c 2 EIk 2
N/mm 时，截面 B 的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量 E = 200 GPa， 比例极限 p =200 MPa。
11
题 11-13 图 解：1.求立柱的临界载荷 给立柱和梁编号分别为 1 和 2，我们有
λp π
E 200109 π 99.3 σp 200106
k2 k1
题 11-11 图 解:该压杆的微弯状态如图 11-11 所示。
图 11-11 弯矩方程为
M ( x1 ) F (δ w1 )， M ( x2 ) F (δ w2 )
进而可得
10
2 2 k12 w1 k12 δ， w2 k2 w1 w2 k2 δ

l

sin kl sin kl
0 - sinkl
1 0 0
k coskl kcoskl 1/l
由此得
sin kl sin kl 2kl coskl 0
上述方程有两组可能的解，即：
sin kl 0 sin kl 2kl coskl 0 由上述二方程的最小非零正根，分别得
于是得挠曲轴微分方程分别为
Fc F x1 Fw1， M ( x2 ) c x2 Fw2 2 2 Fc 2 F k 2 w2 c k 2 x2 k x1， w2 2F 2F
k 2 w1 w1
式中，
k2
上述微分方程的通解分别为
F EI
Fc x1 2F F w2 A2sinkx2 B2coskx2 c x2 2F w1 A1sinkx1 B1coskx1
图 11-7b 半个正弦波的长度为 a，即
leq a
由此得临界载荷为
Fcr
π 2 EI a2
11-8
图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为 EI，且均为细长杆。试问当载荷
F 为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷 F 的方向改为向内， 则使杆件失稳的载荷 F 又为何值？
题 11-8 图 解：1.当 F 向外时 竖向杆 CD 受压，其余四根杆受拉。 设杆 CD 编号为 5，则有
M C 0,
得系统的临界载荷为
c l F 0 2 cl 2
Fcr
1
图 11-2a （b）解：设系统微偏转如图 11-2b(1)所示，铰链 A 与 B 的铅垂位移分别用与表示,于 是得杆 AB 的受力如图 11-2b(2)所示，杆的平衡方程为
M
由式（b）得
F
y
0, c2 2 c1 1 0
c2 2 l F ( 1 2 ) 0
(a) (b)
A 0,
F
由式（a）得
c 2 2 l 1 2
(c)
2
代入式（c） ，于是得系统的临界载荷为
c11 c2
Fcr
c1c2 l c1 c2
图 11-2b
11-3
图示结构，AB 为刚性杆，BC 为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为 EI。在刚性杆
顶端承受铅垂载荷 F 作用，试求其临界值。
2
题 11-3 图 解：结构的临界状态示如图 11-3。
图 11-3 使梁 B 端截面产生转角 θ B 的力矩应为
Me
而
3EI θB l
M e F (θB a )
由此得
F
即
3EI al 3EI al
Fcr
11-4
图示刚性杆 AB，下端与圆截面钢轴 BC 相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保
即
GI p al
πGd 4 32al
Fcr
由此得（题中给出 F= 42kN ）
GI p al
d
4
32alFcr 4 32 0.500 0.300 42 103 m 0.030m 30 mm πG π 79 109
图 11-4
4
11-6
图示细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，试按§11-2 所述方法确定杆的临界载荷。
式中，除参数 k 外，积分常数 A1，A2，B1，B2 与端点挠度也均为未知。 压杆的位移边界条件与连续条件为：

(a) (b)
在 x1 0 处, w1 0
在 x2 0 处, w2
(1) (2) (3)
在 x1 l 处, w1 0
7
在 x1 x2 l 处, w1 w2 在 x1 x2 l 处, w'1 w' 2
由式(a)，(b)与条件(1)，(2)可知，
(4) (5)
B1 B2 0
由式(a)，(b)与条件(3)，(4)，(5)，得
A1 sin kl A1 sin kl A2 sin kl 0
A1k coskl A2 k coskl
可见，A1，A2 与存在非零解的条件为
wB Δl1
引入物理关系
wB
并代入相关数据及
F x1 Fw1 l
M ( x2 ) F ( w2 )
相应的挠曲轴近似微分方程分别为
" EIw1 Fw1
F l
" EIw2 Fw2 F
上述微分方程的通解分别为
w1 A1 sin kx1 B1 coskx1 x1 l
w2 A2 sin kx2 B2 coskx2
i
I1 d 10mm 0.010m A1 4
200 λp i 0.010 立柱 BD 为大柔度杆，其临界载荷为
Fcr
2.计算 qcr 这里的 qcr 系指使立柱刚刚到达 Fcr 时的 q 值，立柱 BD 还处在直线平衡状态。 B 处的变形 协调条件为
λ
l 12.00
π 2 EI1 π 2 200109 π 0.0404 N 6.2013104 N 62.013kN 2 2 64 l1 2.00
sinkl(sinkl2klcoskl )0
式中，k2=F/(EI)。
题 11-9 图 解：在临界载荷作用下，压杆可在图 b 所示微弯状态保持平衡。 设横截面 C 的挠度为，则由平衡方程求得支座 A 与 B 的支反力为
FAy FBy
杆段 AB 与 BC 的弯矩方程分别为
F l
M ( x1 )
由上述条件依次得
B1 δ
A1 0
B2 δcosk1l
(a)
A2
k1 δsink1l k2
(b)
A2sink2l B2cosk2l 0