计算题题型专练(五) 电磁感应规律的综合应用1.如图所示，两根间距为L ＝0.5 m 的平行金属导轨，其cd 左侧水平，右侧为竖直的14圆弧，圆弧半径r ＝0.43 m ，导轨的电阻与摩擦不计，在导轨的顶端接有R 1＝1.5 Ω的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，现有一根电阻R 2＝10 Ω的金属杆在水平拉力作用下，从图中位置ef 由静止开始做加速度a ＝1.5 m/s 2的匀加速直线运动，金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，开始运动的水平拉力F ＝1.5 N ，经2 s 金属杆运动到cd 时撤去拉力，此时理想电压表的示数为1.5 V ，此后金属杆恰好能到达圆弧最高点ab ，g ＝10 m/s 2，求：(1)匀强磁场的磁感应强度大小；(2)金属杆从cd 运动到ab 过程中电阻R 1上产生的焦耳热。

解析 (1)金属杆运动到cd 时，由欧姆定律可得I ＝UR 1＝0.15 A 由闭合电路的欧姆定律可得E ＝I (R 1＋R 2)＝0.3 V 金属杆的速度v ＝at ＝3 m/s由法拉第电磁感应定律可得E ＝BLv ，解得B ＝0.2 T (2)金属杆开始运动时由牛顿第二定律可得F ＝ma ，解得m ＝1 kg金属杆从cd 运动到ab 的过程中，由能量守恒定律可得Q ＝12mv 2－mgr ＝0.2 J 。

故Q＝R1R1＋R2Q＝0.15 J。

答案(1)0.2 T (2)0.15 J2.如图所示，两条间距L＝0.5 m且足够长的平行光滑金属直导轨，与水平地面成α＝30°角固定放置，磁感应强度B＝0.4 T的匀强磁场方向垂直导轨所在的斜面向上，质量m ab ＝0.1 kg、m cd＝0.2 kg的金属棒ab、cd垂直导轨放在导轨上，两金属棒的总电阻r＝0.2 Ω，导轨电阻不计。

ab在沿导轨所在斜面向上的外力F作用下，沿该斜面以v＝2 m/s的恒定速度向上运动。

某时刻释放cd，cd向下运动，经过一段时间其速度达到最大。

已知重力加速度g＝10 m/s2，求在cd速度最大时，求：(1)abcd回路的电流强度I以及F的大小；(2)abcd回路磁通量的变化率以及cd的速率。

解析(1)以cd为研究对象，当cd速度达到最大值时，有：m cd g sin α＝BIL①代入数据，得：I＝5 A由于两棒均沿斜面方向做匀速运动，可将两棒看作整体，作用在ab上的外力：F＝(m ab ＋m cd)g sin α②(或对ab：F＝m ab g sin α＋BIL)代入数据，得：F＝1.5 N(2)设cd达到最大速度时abcd回路产生的感应电动势为E，根据法拉第电磁感应定律，有：E ＝ΔΦΔt③由闭合电路欧姆定律，有：I ＝E r④联立③④并代入数据，得：ΔΦΔt＝1.0 Wb/s 电路中总电动势E ＝Bl (v ＋v m )⑤ 联立④⑤并代入数据，得：v m ＝3 m/s 。

答案 (1)5 A 1.5 N (2)1.0 Wb/s 3 m/s3.如图甲所示，弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L ＝0.2 m ，导轨电阻不计。

质量均为m ＝0.1 kg 的金属杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路。

其中金属杆ab 的电阻R ＝0.2 Ω，金属杆cd 的电阻忽略不计，两金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ＝0.5，整个装置处于磁感应强度大小B ＝1.0 T ，方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面上的匀强磁场中。

t ＝0时刻开始，对ab 杆施加一垂直ab 杆且平行右导轨平面向下的力F ，使ab 杆以初速度v 1沿右导轨平面匀速下滑。

1 s 后，使ab 做匀加速直线运动，t ＝2 s 后，又使ab 杆沿导轨平面匀速下滑。

整个过程中cd 杆运动的v ­t 图象如图乙所示(其中第1 s 、第3 s 内图线为直线)。

两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求：(1)在第1 s 内cd 杆受到的安培力的大小；(2)ab 杆的初速度v 1及第2 s 末的速度v 2；(3)若第2 s 内力F 所做的功为9 J ，求第2 s 内ab 杆所产生的焦耳热。

解析 (1)对cd 杆，由v ­t 图象得：a 1＝Δv Δt ＝3 m/s 2，由牛顿第二定律得mg sin 53°－μ(mg cos 53°＋F 安)＝ma 1， 解得F 安＝0.4 N(2)对ab 杆，感应电动势E ＝BLv 1 电流I ＝E R，cd 杆的安培力F 安＝BIL ，解得v 1＝2 m/s ，由题意得第3 s 内cd 的加速度a 2＝－3 m/s 2对cd 杆，由牛顿第二定律得mg sin 53°－μ⎝ ⎛⎭⎪⎫mg cos 53°＋B 2L 2v 2R ＝ma 2， 解得v 2＝8 m/s 。

(3)由运动学知识得第2 s 内ab 杆的位移x 2＝v 1＋v 22t ＝5m ，由动能定理得W F ＋W G ＋W f ＋W 安＝12mv 22－12mv 21，又W F ＝9 J ，W G ＝mgx 2sin 37°， W f ＝－μmgx 2cos 37°，－W 安＝Q ab ， 解得：Q ab ＝7 J 。

答案 (1)0.4 N (2)2 m/s 8 m/s (3)7 J4.如图所示，AD 与A 1D 1为水平放置的无限长平行金属导轨，DC 与D 1C 1倾角为θ＝37°的平行金属导轨，两组导轨的间距均为l ＝1.5 m ，导轨电阻忽略不计。

质量为m 1＝0.35 kg 、电阻为R 1＝1 Ω的导体棒ab 置于倾斜导轨上，质量为m 2＝0.4 kg 、电阻为R 2＝0.5 Ω的导体棒cd 置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与cd 的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。

导体棒ab 、cd 与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ＝2 T 。

初始时刻，棒ab 在倾斜导轨上恰好不下滑。

(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6)(1)求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ；(2)在轻质挂钩上挂上物体P ，细绳处于拉伸状态，将物体P 与导体棒cd 同时由静止释放，当P 的质量不超过多大时，ab 始终处于静止状态？(导体棒cd 运动过程中，ab 、cd 一直与DD 1平行，且没有与滑轮相碰。

)(3)若P 的质量取第(2)问中的最大值，由静止释放开始计时，当t ＝1 s 时cd 已经处于匀速直线运动状态，求在这1 s 内ab 上产生的焦耳热为多少？解析 (1)对ab 棒，由平衡条件得m 1g sin θ－μm 1g cos θ＝0 解得μ＝34(或0.75)(2)当P的质量最大时，P和cd的运动达到稳定时，P和cd一起做匀速直线运动，ab 处于静止状态，但摩擦力达到最大且沿斜面向下。

设此时电路中的电流为I，对ab棒，由平衡条件得沿斜面方向：IlB cos θ－m1g sinθ－μN＝0垂直于斜面方向：N－IlB sin θ－m1g cosθ＝0对cd棒，设绳中的张力为T，由平衡条件得T－IlB－μm2g＝0对P，由平衡条件得Mg－T＝0联立以上各式得：M＝1.5 Kg故当P的质量不超过1.5 Kg时，ab始终处于静止状态(3)设P匀速运动的速度为v，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得Blv＝I(R1＋R2)得v＝2 m/s对P、棒cd，由牛顿第二定律得Mg－μm2g－B Blv1R1＋R2l＝(M＋m2)a两边同时乘以Δt，并累加求和，可得Mgt －μm 2gt －B BlsR 1＋R 2l ＝(M ＋m 2)v解得s ＝4130m对P 、ab 棒和cd 棒，由能量守恒定律得Mgs ＝μm 2gs ＋Q ＋12(M ＋m 2)v 2解得Q ＝12.6 J在这1 s 内ab 棒上产生的焦耳热为Q 1＝R 1R 1＋R 2Q ＝8.4 J 。

答案 (1)34(2)1.5 kg (3)8.4 J5.如图所示，两足够长电阻不计的光滑平行金属导轨MN 、PQ 相距L ＝1 m ，导轨平面与水平面夹角θ＝37°，导轨空间内存在着垂直导轨平面向上的匀强磁场。

长为L 的金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量m ＝0.1 kg 、电阻r ＝8 Ω。

两金属导轨的上端连接右端电路，定值电阻R 1＝12 Ω，R 2＝6 Ω，开关S 未闭合，已知g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

试求：(1)若磁感应强度随时间变化满足B ＝2t ＋1(T)，金属棒由距导轨顶部1 m 处释放，求至少经过多长时间释放，会获得沿斜面向上的加速度；(2)若匀强磁场大小为B 2＝2 T ，现对金属棒施加一个平行于导轨沿斜面向下的外力F ，使金属棒沿导轨向下做加速度为a ＝10 m/s 2的匀加速直线运动，外力F 与时间t 应满足什么样的关系。

(3)若匀强磁场大小为B 1＝355T ，现将金属棒从顶部由静止释放并闭合开关S ，棒刚好达到最大速度时，R 2已产生的总热量为QR 2＝1645J ，则此过程金属棒下滑的距离为多大？解析 (1)金属棒有沿着斜面向上的加速度， 则BIL ＞mg sin θ 又I ＝Er ＋R 1其中：E ＝ΔφΔt ＝ΔB Δt ·L 2＝KL 2＝2 V其中：B ＝2t ＋1(T)解得：t ＞2.5 s 即至少需要2.5 s 。

(2)对金属棒由牛顿第二定律得：F ＋mg sin θ－F A ＝ma其中F A ＝B 1I 1L ＝B 21L 2vr ＋R 1其中：v ＝at 解得：F ＝2t ＋0.4(N)(3)棒达到最大速度时R 1产生热量Q R 1＝R 2R 1·QR 2＝845J并联电阻R ＝R 1R 2R 1＋R 2＝4 Ω 棒产生热量Q r ＝(Q R 1＋Q R 2)·r R ＝1615J得Q ＝Q r ＋Q R 1＋Q R 2＝85J棒达到最大速度时受力平衡B 2I 2L ＝mg sin θ 其中：I 2＝B 2Lv mr ＋R解得：v m ＝4 m/s由能量守恒得：mgx ·sin θ＝Q ＋12mv 2m 。

解得：x ＝4 m 。

答案 (1)2.5 s (2)F ＝2t ＋0.4 (N) (3)4 m。