计算题32分满分练(一)24.(12分)某电视台有一幼儿园小朋友参加的闯关节目——高低滑梯。
如图1所示，高滑梯的平台到水平地面的距离为h ，其右侧与一个曲面滑梯P A 相连，参赛者小帅(可视为质点)从P 点由静止下滑，经过平台上的A 点后向左做匀减速直线运动，依次经过B 、C 两点后落在地面上的D 点(有保护措施，不会摔伤)。
已知从A 运动到B 的时间等于从B 运动到C 的时间，且B 到C 的距离为l ，A 到B 的距离为2l 。
低滑梯在水平地面上，其右侧与一个曲面滑梯QA ′相连，QA ′与P A 完全相同，参赛者小唐(也可视为质点)从Q 点由静止下滑，经过平台上的A ′点后向左做匀减速直线运动，依次经过B ′、C ′两点后最终恰好停在D 点。
已知A 与A ′、B 与B ′、C 与C ′都在同一竖直平面内，高低滑梯都是由相同材料制成的。
求：图1(1)C 到D 的水平距离x ；(2)参赛者与滑梯平台间的动摩擦因数μ。
解析 (1)设小唐做匀减速运动的加速度大小为a ，离开C ′点时的速度为v (小帅经过C 点的速度也为v )，从A ′点运动到B ′点的时间为t ，则小唐从B ′点运动到C ′点的时间也为t ，按逆向思维，根据运动学公式得l ＝v t ＋12at 2，l ＋2l ＝v ·2t ＋12a (2t )2，消去t 解得al ＝4v 2C 到D 的水平距离x ，即C ′到D 的水平距离，由运动学公式得v 2＝2ax解得x ＝l 8。
(2)小帅离开C 点之后做平抛运动，设小帅在空中运动的时间为t ′，有h ＝12gt ′2，x ＝v t ′设参赛者小唐的质量为m ，由牛顿第二定律得μmg ＝ma联立解得μ＝l 32h 。
答案 (1)l 8 (2)l 32h25.(20分)在如图2所示的扇形区域Oab 内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B ＝2.0×10－3 T 的匀强磁场(包括磁场的边界)，已知扇形区域的半径为r ＝ 2 m ，图中的O 点有一发射源，能向磁场中发射一系列比荷为q m ＝5.0×107C/kg 的带负电的粒子，粒子的速度方向均与磁场方向垂直，且所有粒子的速率均为v ＝1.0×105 m/s ，粒子重力不计。
图2(1)沿Oa 方向发射的带电粒子在磁场中运动的时间为多少？(2)刚好从b 点离开的带电粒子进入磁场时的速度方向与Oa 的夹角为多大？(3)若带电粒子进入磁场时的动能增加1倍，假设带电粒子进入磁场的瞬间，速度方向与Oa 的夹角为θ，写出粒子在磁场中运动的时间t 与θ的关系。
解析 (1)沿Oa 方向发射的带电粒子，在磁场中的运动轨迹如图甲所示，设出射点为p ，轨迹所在圆的半径为R ，则由qB v ＝m v 2R 得，R ＝m v qB ＝ 1.0×1055.0×107×2.0×10－3 m ＝1.0 m 。
因O 1p －＝O 1O －＝1.0 m ，Op －＝r ＝ 2 m ，则由几何关系可知△O 1Op 为等腰直角三角形则带电粒子在匀强磁场中偏转过的角度为α＝π2，带电粒子在磁场中运动的时间为t ＝α2π·2πm qB ＝π2×10－5 s 。
(2)带电粒子刚好从b 点离开时，轨迹如图乙所示，O 2b －＝O 2O －＝1.0 m ，Ob －＝ 2 m ，由几何关系可知△O 2Ob 为等腰直角三角形，∠O 2Ob ＝45°，则刚好从b 点离开的带电粒子进入磁场时的速度方向与Oa 的夹角应为45°。
(3)设动能增加1倍后，粒子的运动轨迹所在圆的半径为R ′，由公式q v B ＝m v 2R ，E k ＝12m v 2可知R ＝2mE k qB ，则R ′R ＝E k ′E k ＝2，R ′＝2R ＝ 2 m若粒子从b 点射出，轨迹如图丙所示，Ob －＝R ′，△O 3Ob 为正三角形，运动轨迹所对应的圆心角α1＝π3，则粒子进入磁场时的速度方向与Oa 的夹角θ＝π3若粒子从弧ab 上射出，则运动轨迹所对应的弦长均为 2 m ，对应的圆心角均为α1＝π3，粒子进入磁场时的速度方向与Oa 的夹角的范围为0≤θ≤π3，粒子在磁场中的运动时间均为t ＝α12π·2πm qB ＝π3×10－5 s故0≤θ≤π3时，粒子在磁场中的运动时间为t ＝π3×10－5 s若粒子从边Ob 上射出，轨迹如图丁所示，运动轨迹所对应的圆心角为α2＝π－2θ 运动时间t ＝α22π·2πm qB ＝(π－2θ)×10－5 s故π3<θ≤π2时，粒子在磁场中的运动时间为t ＝(π－2θ)×10－5 s 。
答案(1)π2×10－5s(2)45°(3)0≤θ≤π3时，t＝π3×10－5sπ3<θ≤π2时，t＝(π－2θ)×10－5 s计算题32分满分练(二)24.(12分)2017年9月13日，苹果在乔布斯剧院正式发布旗下三款iPhone新机型，除了常规的硬件升级外，三款iPhone还支持快充和无线充电。
图1甲为兴趣小组制作的无线充电装置中的输电线圈示意图，已知线圈匝数n＝100，电阻r ＝1 Ω，横截面积S＝1.5×10－3m2，外接电阻R＝7 Ω。
线圈处在平行于线圈轴线的磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，求：图1(1)t＝0.01 s时线圈中的感应电动势E；(2)0～0.02 s内通过电阻R的电荷量q；(3)0～0.03 s内电阻R上产生的热量Q。
解析(1)由图乙可知，t＝0.01 s时刻ΔBΔt＝4 T/s根据法拉第电磁感应定律得E＝n ΔΦΔt＝nSΔBΔt解得E＝0.6 V。
(2)0～0.02 s内，I＝ER＋r＝0.075 A，电荷量q＝IΔt，解得q＝1.5×10－3 C。
(3)0～0.02 s内，E＝0.6 V，I＝0.075 A，根据焦耳定律可以得到，回路中产生的焦耳热为Q1＝I2(R＋r)t1＝9×10－4 J0.02～0.03 s内，E′＝1.2 V，I′＝0.15 A，根据焦耳定律可以得到，回路中产生的焦耳热为Q 2＝I ′2(R ＋r )t 2＝1.8×10－3 J所以Q 总＝Q 1＋Q 2＝2.7×10－3 J而Q ＝RR ＋r Q 总，解得Q ＝2.362 5×10－3 J 。
答案 (1)0.6 V (2)1.5×10－3 C (3)2.362 5×10－3 J25.(20分)如图2甲所示，质量M ＝3 kg ，足够长的木板静止在水平面上，半径为R 的四分之一固定光滑圆轨道的下端与木板的右端平滑对接，质量m ＝1 kg 的物块(可视为质点)从轨道顶端由静止释放，接着物块离开圆轨道滑上木板。
从物块滑上木板开始计时，物块运动前2 s 内速度随时间变化如图乙所示。
已知木板与水平面间的动摩擦因数μ0＝0.01，重力加速度g ＝10 m/s 2，求：图2(1)物块经过圆轨道最低点时对轨道压力F 的大小；(2)直到物块与木板相对静止的过程中因摩擦共产生的热量Q 。
解析 (1)设物块经过圆轨道最低点的速度为v 0，根据机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 20解得R ＝0.8 m根据牛顿第二定律得F －mg ＝m v 20R解得F ＝30 N由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小为30 N 。
(2)物块滑上木板后，由图象可知物块的加速度大小为a 1＝1 m/s 2物块与木板间的摩擦力的大小为f 1＝ma 1＝1 N设木板的加速度为a 2，则f 1－μ0(M ＋m )g ＝Ma 2解得a 2＝0.2 m/s 2当它们达到相同的速度时，有v ＝v 0－a 1t ＝a 2t解得t ＝103 s这一过程中，物块的位移为x 1＝v 0t －12a 1t 2＝709 m木板的位移为x 2＝12a 2t 2＝109 m物块与木板因摩擦产生的热量为Q 1＝f 1(x 1－x 2)＝203 J木板与地面摩擦产生的热量为Q 2＝μ0(M ＋m )gx 2＝49 J所以因摩擦共产生的热量为Q ＝Q 1＋Q 2＝649 J答案 (1)30 N (2)649 J计算题32分满分练(三)24.(12分)如图1所示，水平放置的绝缘光滑正方形桌面abcd ，边长为L ，距地面高度也为L ，仅在桌面区域有竖直向上的匀强磁场。
两个带有相同电荷量的小球1、2，质量分别为m 1和m 2，先后从b 点沿水平桌面ba 方向射入磁场，在b 点动能相同，小球1从bc 边的中点P 水平射出，小球2从bc 边的c 点水平射出。
重力加速度为g 。
图1(1)求两小球带电性质及两小球质量之比m 1m 2； (2)若在b 点的动能E k ＝34m 1gL ，求两小球落地点间的水平距离x 12(用L 表示)。
解析 (1)小球都带正电，小球1、2在磁场中做匀速圆周运动，设小球电荷量为q ，磁感应强度为B ，速率分别为v 1、v 2，质量分别为m 1、m 2，半径分别为r 1、r 2，动能为E k ，由洛伦兹力提供向心力，有q v 1B ＝m 1v 21r 1，q v 2B ＝m 2v 22r 2(1分) 且E k ＝12m 1v 21＝12m 2v 22(1分)r 2＝2r 1(2分)解得m 1m 2＝14(1分) (2)两小球水平抛出，速度方向垂直于bc 边，设下落时间相同为t ，水平位移分别为x 1和x 2，由平抛规律，有L ＝12gt 2(1分)x 1＝v 1t ，x 2＝v 2t (1分)由几何关系，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＋（x 2－x 1）2(2分) 由题知12m 1v 21＝12m 2v 22＝34m 1gL (2分)解得x 12＝L (1分)答案 (1)均带正电 1∶4 (2)L25.(20分)某工地一传输工件的装置可简化为如图2所示的情形，AB 为一段足够大的14圆弧固定轨道，圆弧半径R ＝5.4 m ，BC 为水平轨道，CD 为一段14圆弧固定轨道，圆弧半径r ＝1 m ，三段轨道均光滑。
一长为L ＝4 m 、质量为m 2＝1 kg 的平板小车最初停在BC 轨道的最左端，小车上表面刚好与AB 轨道相切，且与CD 轨道最低点处于同一水平面。
一可视为质点、质量为m 1＝2 kg 的工件从距AB 轨道最低点高h 处沿轨道自由滑下，滑上小车后带动小车也向右运动，小车与CD 轨道左端碰撞(碰撞时间极短)后即被粘在C 处。
工件只有从CD 轨道最高点飞出，才能被站在台面上的工人接住。