生物统计学教案第九章 两因素及多因素方差分析教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。

讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念 9.1.1 模型类型交叉分组设计：A 因素的a 个水平和B 因素的b 个水平交叉配合，共构成ab 个组合，每一组合重复n 次，全部实验共有abn 次。

固定模型：A 、B 两因素均为固定因素。

随机模型：A 、B 两因素均为随机因素。

混合模型：A 、B 两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。

9.1.2 主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。

A 1 A 2 A 1 A 2B 1 18 24 B 1 18 28 B 2 38 44 B 2 30 22 先看左边的表。

A 因素的主效应应为A 2水平的平均效应减A 1水平的平均效应，B 的主效应类似。

当A 1B 1＋A 2B 2＝A 1B 2＋A 2B 1时，A 、B 间不存在交互作用。

这里A 1B 1＋A 2B 2＝62，A 1B 2＋A 2B 1＝62，因此A 、B 间不存在交互作用。

交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。

2022418244382262361824424221211222121112212=+-+=+-+==+-+=+-+=B A B A B A B A B B A B A B A B A A现在看右边的表。

A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。

交互作用的大小为AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1）9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。

以x ilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。

一般格式见下表。

因素 B j=1,2,…,bB1B2…B b总计A1x111x121x1b1x112x122x1b2x11n x12n x1b n x1. .因素A2x211x221x2b1A x212x222x2b2x21n x22n x2bn x2. .A a x a11x a21x ab1x a12x a22x ab2x a1n x a2n x abn x a. .总计x.1. x.2.x.b.x. . .上表中的各种符号说明如下：⋅⋅i x A 因素第i 水平的所有观察值的和，其平均数为..i x..j x B 因素第j 水平所有观察值的和， 其平均数为..j x .ij x A 因素第i 水平和B 因素的第j 水平和所有观察值的和，其平均数为.ij x...x 所有观察值的总和， 其平均数为 (x)关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。

9.2 固定模型 9.2.1 线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的εijk 是相互独立且服从N (0 , σ2)的随机变量。

固定模型方差分析的零假设为：abnx x x x bj a i nx x x x a i b j nk ijkij ij nk ijk ij ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅=⋅==⎩⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅===∑∑∑∑,,,2,1,,2,1,,1111()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=++++=n k b j a i x ijkij j i ijk ,,2,1,,2,1,,2,1εαββαμ∑∑====bj jai i11,0βα()()∑∑====ai bj ijij11,0αβαβ()⎨⎧⋅⋅⋅====⋅⋅⋅====⋅⋅⋅==ai H H H ij b a ,,2,10:0:0:0321022101αββββααα9.2.2 平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。

根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。

上述各项分别为A 因素、B 因素、AB 交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方：9.2.3 均方期望与统计量F 的确定()()()()()[]()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===⋅==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅-++--+-+-=-++--+-+-=-a i b j nk ij ijkai bj a i bj j i ij j i ai bj nk ij ijk j i ij j i a i b j nk ijkx xx x x x n x x an x x bn x x x x x x x x x x x x1112111122211121112()()()()∑∑∑∑∑∑∑===⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅-=+--=-=-=a i bj nk ij ijke ai bj j i ij AB bj j B ai i A x xSS x x x x n SS x x an SS x x bn SS 11121121212()()()111111-=--=-=-=-=n ab df b a df b df a df abn df e AB B A T ()()()1,11,1,1-=--=-=-=n ab SS MS b a SS MS b SS MS a SS MS e e ABAB B B A A ()()()()()()()21122122122,111,1σαβσβσασ=--+=-+=-+=∑∑∑∑====e a i bj ij AB bj j B a i i A MS E b a nMS E b an MS E a bn MS E对上式E (MS A )、E (MS B )和E (MS e )中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用F 作为检验统计量，以对A 因素的检验为例：当F >F α时拒绝H 01。

对B 因素和AB 交互作用的推断类似。

两因素固定模型的方差分析表如下： 9.2.4 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中abnx 2⋅⋅⋅称为校正项，用C 表示。

变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A 因素 SS A a -1 MS A MS A /MS e σ2+bn ηα2B 因素 SS B b -1 MS B MS B /MS e σ2+an ηβ2 AB 交互作用 SS AB (a -1)(b -1) MS AB MS AB /MS e σ2+n ηαβ2 误差 SS e ab (n -1) MS e σ2 总和 SS T abn -1()()()∑∑∑∑====--=-=-=a i bj ijb j j a i i b a b a 1122122122111,11,11αβηβηαηαββα()()()222222,,αββαησησησn MS E an MS E bn MS E AB B A +=+=+=0:,0:,0:203202201===αββαηηηH H H ()()222Aebn MS F MS ασησ+==的估计的估计abnx x an SS abnx x bn SS abnx x SS b j j B a i i A ai bj nk ijkT 212212111221,1⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅⋅-=-=-=∑∑∑∑∑不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。

为了得到误差平方和，必须设置重复。

由总平方和减去A 因素、B 因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。

如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。

即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。

这一点在设计实验时一定要特别注意。

交互平方和：例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。

在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。

将每一数据都减去30，列成表9-1。

原料(A ) 温度(B ) x ij 1 x ij 2 x ij 3 x ij 4 x ij . x ij .2 ∑=412k ijkx 30 11 19 -7 -5 18 324 5561 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 711 40 -24 -8 -4 -12 -48 2304 800 30 17 29 20 10 76 5776 1630 2 35 13 8 3 6 30 900 278 40 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948∑∑∑∑∑=====⋅-=a ib j nk a i b j ij ijke x n xSS 11111221∑∑==⋅⋅⋅⋅---=---=a i b j BA ij eB A T AB SS SS abnx x n SS SS SS SS SS 1122130 13 5 23 20 61 3721 1123 3 35 25 8 17 14 64 4096 1174 40 0 3 -4 -11 -12 144 146 和 84 22838 7366 利用x ij .列，列成表9－2温 度 (B)30 35 40 x i . . x i . .2 原 1 18 －47 －48 －77 5929 料 2 76 30 －58 48 2304 (A) 3 61 54 －12 113 12769 x .j. 155 47 －118 84 21022 x .j.2 24025 2209 13924 40158从表9－1中可以计算出：及由表9－2中可以计算出：()()()00.196433842===⋅⋅⋅abn x C 00.7170196736611122=-=-=∑∑∑===⋅⋅⋅a i b j nk ijkT abnx x SS ()50.16562283841736611111122=-=-=∑∑∑∑∑=====⋅ai bj nk a i b j ij ijke x n xSS ()()()17.1554196210224311212=-=-=⋅⋅⋅=⋅⋅∑abn x x bn SS a i i A ()()()58.3150196401584311212=-=-=⋅⋅⋅=⋅⋅∑abn x x an SS bj j B ---=eB A T AB SS SS AA SS SS列成方差分析表 变差来源 平方和 自由度 均方 F 原料 A 1554.17 2 777.09 12.67** 温度 B 3150.58 2 1575.29 25.68** AB 808.75 4 202.19 3.30* 误 差 1656.50 27 61.359.2.5 无重复实验时的两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n = 1）。