生物统计学教案第五章统计推断教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握两个样本的差异显著性检验，掌握一个样本的差异显著性检验，了解二项分布的显著性检验。
讲授难点：一个、两个样本的差异显著性检验统计假设检验：首先对总体参数提出一个假设，通过样本数据推断这个假设是否可以接受，如果可以接受，样本很可能抽自这个总体，否则拒绝该假设，样本抽自另外总体。
参数估计：通过样本统计量估计总体参数。
5.1 单个样本的统计假设检验5.1.1 一般原理及两种类型的错误例：已知动物体重服从正态分布N(μ，σ2)，实验要求动物体重μ＝10.00g。
已知总体标准差σ＝0.40g，总体平均数μ未知，为了得出对总体平均数μ的推断，以便决定是否接受这批动物，随机抽取含量为n的样本，通过样本平均数，推断μ。
1、假设：H 0: μ=μ或H0: μ－μ0＝0H A : μ>μμ<μμ≠μ三种情况中的一种。
本例的μ＝10.00g，因此H: μ=10.00HA: μ>10.00或μ<10.00或μ≠10.002、小概率原理小概率的事件，在一次试验中几乎是不会发生的，若根据一定的假设条件计算出来该事件发生的概率很小，而在一次试验中，它竟然发生了，则可以认为假设的条件不正确，从而拒绝假设。
从动物群体中抽出含量为n的样本，计算样本平均数，假设该样本是从N(10.00，0.402)中抽取的，标准化的样本平均数服从N (0,1)分布，可以从正态分布表中查出样本抽自平均数为μ的总体的概率，即P (U >u ), P (U <－u ), 以及P (|U |>u )的概率。
如果得到的值很小，则x 抽自平均数为μ0的总体的事件是一个小概率事件，它在一次试验中几乎是不会发生的，但实际上它发生了，说明假设的条件不正确，从而拒绝零假设，接受备择假设。
显著性检验：根据小概率原理建立起来的检验方法。
显著性水平：拒绝零假设时的概率值，记为α。
通常采用α＝0.05和α＝0.01两个水平，当P < 0.05时称为差异显著，P < 0.01时称为差异极显著。
3、临界值例 从上述动物群体中抽出含量n ＝10的样本，计算出x ＝10.23g ，并已知该批动物的总体平均数μ绝不会小于10.00g ，规定的显著水平α＝0.05。
根据以上条件进行统计推断。
H 0: μ=10.00 H A : μ>10.00 根据备择假设，为了得到x 落在上侧尾区的概率P (U > u )，将x 标准化，求出u 值。
P (U >1.82)＝0.03438，P < 0.05，拒绝H 0，接受 H A 。
在实际应用中，并不直接求出概率值，而是建立在α水平上H 0的拒绝域。
从正态分布上侧临界值表中查出P (U > u α)= α时的u α值，U > u α的区域称为在α水平上的H 0拒绝域，而U < u α的区域称为接受域。
接受域的端点一般称为临界值。
本例的u ＝1.82，从附表3可以查出u 0.05=1.645, u > u α，落在拒绝域内，拒绝H 0而接受H A 。
4、单侧检验和双侧检验上尾单侧检验：上例中的H A :μ>μ0，相应的拒绝域为U > u α。
对应于H A :μ>μ0时的检验称为上尾单侧检验。
下尾单侧检验：对应于H A :μ<μ0时的检验称为下尾单侧检验。
nx nx u 40.000.100-=-=σμ82.11040.000.1023.100=-=-=nx u σμ其拒绝域为U <－u α。
双侧检验：对应于H A :μ≠μ0时的检验称为双侧检验。
双侧检验的拒绝域为|U | >u α/2 。
5、单侧检验和双侧检验的效率：在样本含量和显著水平相同的情况下，单侧检验的效率高于双侧检验。
这是因为在做单侧检验利用了已知有一侧是不可能这一条件，从而提高了它的辨别力。
所以，在可能的条件下尽量做单侧检验。
例 上例已经计算出u =1.82，上尾单侧检验的临界值u 9，0.05＝1.645，u > uα,结论是拒绝零假设。
在做双侧检验时u 仍然等于1.82，双侧检验的临界值为u 9, 0.05/2=1.96, |u |<u 0.025, 不能拒绝零假设。
6、两种类型的错误（1）I 型错误，犯I 型错误的概率记为αα＝P （I 型错误）＝P （拒绝H 0|H 0是正确的，μ＝μ0） （2）II 型错误，犯II 型错误的概率记为ββμ1＝P （II 型错误）＝P （接受H 0|H 0是错误的，μ＝μ1） 例 继续上例，抽出n ＝10的样本，x ＝10.20g ，检验假设H 0：μ＝10.00g H A ：μ >10.00g标准化的样本平均数临界值u 0.05 =1.645，u < u 0.05， P > 0.05。
结论是不能拒绝H 0。
以样本平均数表示的临界值，可由下式得出在下图中0x 的位置已用竖线标出。
犯I 型错误的概率α，由竖线右侧μ0＝10.00曲线下面积给出。
犯II 型错误的概率由竖线左侧μ1＝10.30曲线下面积给出。
10.2010.001.580.40u -==0010.001.64510.2080.40x x -==犯II 型错误的概率β10.30＝0.2327。
从上图中可以看出（1）当μ1越接近μ0时，犯II 型错误的概率越大。
（2）降低犯I 型错误的概率，必然增加犯II 型错误的概率。
（3）为了同时降低犯两种错误的概率，必须增加样本含量。
7、关于两个概念的说明：（1）当P <α时，所得结论的正确表述应为：由样本平均数推断出的总体平均数μ与μ0之间的差异有统计学意义。
即它们属于两个不同总体。
习惯上称为“差异是显著的”。
（2）接受H 0的更严密的说法应是：尚无足够理由拒绝H 0。
但习惯上采用接受H 0和拒绝H 0这种表达方法。
5.1.2 单个样本显著性检验的程序 （略）5.1.3 在σ已知的情况下，单个平均数的显著性检验－u 检验 检验程序如下：1、假设从σ已知的正态或近似正态总体中抽出含量为n 的样本。
()()2327.073.01040.030.10208.1030.10=-<=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<=<=U P U P u U P αβ2、零假设 H 0： μ＝μ0备择假设 H A ： ① μ > μ0 ② μ < μ0 ③ μ ≠ μ03、显著性水平 在α＝0.05水平上拒绝H 0称为差异显著 在α＝0.01水平上拒绝H 0称为差异极显著4、检验统计量5、相应于2中各备择假设之H 0的拒绝域 ① u > u α ② u <－u α ③ |u | > u α/26、得出结论并给予解释例 已知豌豆籽粒重量服从正态分布N (377.2，3.32)在改善栽培条件后，随机抽取9粒，其籽粒平均重为379.2，若标准差仍为3.3，问改善栽培条件是否显著提高了豌豆籽粒重量？ 解 ① σ已知② 假设： H 0： μ＝ 377.2 H A ： μ > 377.2 ③ 显著性水平： α＝0.05 ④ σ已知，使用u 检验⑤ H 0的拒绝域：因H A ：μ >μ0，故为上尾检验，当u >u 0.05时拒绝H 0 。
u 0.05=1.645。
⑥ 结论： u > u 0.05 , 即P < 0.05, 所以拒绝零假设。
栽培条件的改善，显著地提高了豌豆籽粒重量。
5.1.4 σ未知时平均数的显著性检验－t 检验nx u σμ0-=82.193.32.3772.3790=-=-=nx u σμ检验程序如下：1、假设从σ未知的正态或近似正态总体中抽出含量为n 的样本。
2、零假设: H 0： μ＝μ0 备择假设: H A ： ① μ > μ0② μ < μ0 ③ μ ≠ μ03、显著性水平: 在α＝0.05水平上拒绝H 0称为差异显著 在α＝0.01水平上拒绝H 0称为差异极显著4、检验统计量: 当σ未知时以s 代替之，标准化的变量称为t ，服 从n －1自由度的t 分布。
t 分布的临界值可从附表4中查出。
5、相应于2中各备择假设之H 0的拒绝域: ① t > t α ② t <－t α ③ |t | > t α/26、得出结论并给予解释。
例 已知玉米单交种群单105的平均穗重μ0＝300g 。
喷洒植物生长促进剂后，随机抽取9个果穗，其穗重为：308、305、311、298、315、300、321、294、320g 。
问喷药后与喷药前的果穗重差异是否显著？ 解 ① σ未知② 假设： H 0： μ＝300 H A ： μ ≠300激素类药物需有适当的浓度，浓度适合时促进生长，浓度过高时反而抑制生长，在这里喷药的效果是未知的，并非仅能促进生长，需采用双侧检验③ 显著性水平： α＝0.05 ④ σ未知应使用t 检验，已计算出x ＝308，s ＝9.62ns x t 0μ-=49.2962.93003080=-=-=n s x t μ⑤ H 0的拒绝域：因H A ：μ≠μ0，故为双侧检验，当|t |>t 0.025时拒绝H 0 。
t 0.025=2.306。
⑥ 结论：因|t |>t 0.025 , 即P < 0.05，所以拒绝零假设。
喷药前后果穗重的差异是显著的。
若规定α＝0.01，t 0.01/2=3.355，t < t 0.005，因此喷药前后果穗重的差异尚未达到“极显著”。
5.1.5 变异性的显著性检验－χ2检验χ2检验的基本程序如下：1、假设从正态总体中随机抽取含量为n 的样本，计算出样本s 2。
2、零假设: H 0： σ＝σ0备择假设: H A ： ① σ > σ0② σ < σ0 ③ σ ≠ σ03、显著性水平: 在α＝0.05水平上拒绝H 0称为差异显著 在α＝0.01水平上拒绝H 0称为差异极显著4、检验统计量:统计量χ2服从n – 1自由度的χ2分布。
5、相应于2中各备择假设之H 0的拒绝域: ① χ2 >χ2α ② χ2 <χ21－α③ χ2<χ21-α/2 和 χ2>χ2α/2 6、得出结论并给予解释。
例 一个混杂的小麦品种，株高标准差σ0＝14cm ，经提纯后随机抽出10株，它们的株高为：90、105、101、95、100、100、101、105、93、97cm ，考查提纯后的群体是否比原群体整齐？解① μ未知，对未知总体的方差做检验()2221σχs n -=② 假设: H 0： σ＝14cm 0 H A ： σ < σ0小麦经提纯后株高只能变得更整齐，因而使用下侧检验。