微积分课程教学基本要
求
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
(1) 微积分(I)教学基本要求(3学时/周, 48学时)
(一)说明
《微积分(I)》称之为“直观微积分”，其特点是给极限以易懂的直观定义，
跨过极限理论证明的难点，尽快进入微积分的最基本的主线内容：一元函数的
微分、积分以及简单微分方程等. 这样使学生容易入门，先掌握实际应用广泛
的微积分基本内容，突出牛顿式的数学与物理概念、几何直观相结合的处理方法, 不拘泥于严格的数学证明，注重基本的计算能力和运用微积分方法分析和
解决实际问题能力的培养。
(1)这部分内容的极限概念主要以“无限趋向”直观的定义, 只介绍极限的精
ε-的极限证明, 但极限的保号性的运用要求掌握。
确定义，不要求用δ
(2)连续函数在闭区间上的有界性，取最值性，及介值性的结论要求会运用.
(3)这部分要求突出计算和应用。
由于学生从中学到大学在学习方法上有较大变化,为适应这个过程,建议在
教学中注意对学生学习方法和阅读教材与参考书的指导，堂上要有适当的例题
讲解。
(二)内容
1. 函数:
函数定义,基本初等函数; 隐函数, 参数方程表示的函数,复合函数。
函数的几个主要性质:有界性,奇偶性，单调性，周期性,凸凹性。
2极限:
ε-”定义的证明题,只要只讨论函数的极限，强调“无限趋近”, 不要求“δ
ε-”思想说明极限的保号及有界等性质.
求用“δ
极限的运算性质,两个重要极限，无穷小量,无穷大量.利用极限性质、等价无穷小、高阶无穷小计算极限。
3.连续:
连续和间断的概念(不讲一致收敛),闭区间连续函数的性质.
4. 导数与微分
导数与微分的概念,几何意义.
导数与微分计算: 基本导数、微分公式, 四则运算法则,复合函数链式法则,
参数方程求导数,隐函数求导数;高阶导数Leibniz 公式
5. 微分中值定理和导数应用
三个微分中值定理的证明及应用.
L ’Hospital 法则, Taylor 公式, 函数()()α
x x e x x x ++1,1ln ,,cos ,sin 在00=x 处的Taylor 公式, 用Taylor 公式求函数的极限.
函数性态的研究: 增减极值,凸性，拐点, 渐近线; 函数图象的讨论和略画。
一元函数的极值及最值问题。
6.积分
原函数和不定积分的概念及性质; 不定积分的计算： 凑微分,变量代换,分部积分， 了解有理函数的积分的思路与结论
7. 定积分的概念及基本性质, 变限积分与微积分基本定理,Newton-Leibniz 公式
定积分的计算：凑微分,变量代换,分部积分，了解不能积成初等函数的积分。
定积分的应用
几何应用：面积,均值, 旋转体体积, 曲线弧长, 旋转体侧面
物理应用: 质心,转动惯量,引力,做功.
8. 简单微分方程
微分方程的实际背景,基本概念.
微分方程的初等解法:分离变量法,齐次方程,一阶线性方程, 常数变异法,伯
努利方程,可降阶的二阶方程:),(,),(y y f y y x f y '=''=''
(2) 微积分(I)教学基本要求(4学时/周, 64学时)
(一)说明
这是为信息、理科类开的课程。
(二)内容
基本内容同微积分(I) (3学时/周, 48学时)的内容, 另外增加以下内容：
1. 微分方程解的存在唯一性介绍。
高阶线性方程解的结构, 常数变异法求特解。
齐次常系数高阶线性方程求解, 非齐次常系数高阶线性方程的比较系数法. 微分方程的应用.
2. 另外，前面的内容及应用可适当深一点，多一点。
(3) 微积分(II)教学基本要求(3学时/周, 48学时)
(一)说明
《微积分(II)》称之为“理性微积分”，其特点是通过对极限、函数可积性以及级数等内容作比较严格的数学理论上的讨论, 对学生进行数学理性思维和较严密的逻辑推理的训练，以加强学生的数学素养。
这部分课程作为数学思维及方法培养的基础课程，要求在基本内容掌握的同时，让学生尽可能理解处理连续模型的一些基本思路。
(二)内容
1.数系的扩充、数集的界与确界、确界存在定理。
注：主要讲清实数集有界和无界的概念，给出确界定义，承认确界存在定理。
2.极限和函数的连续性
数列极限：概念、性质、单调有界有极限定理、夹逼定理、有界数列必有收敛子列、Cauchy准则。
函数极限：概念、性质、极限证明典型例子。
一致连续概念，连续函数在有界闭区间上性质的证明。
注：应强调比较严格的极限论证, 加强用极限思想处理问题的方法训练。
从连续到一致连续应该是一个比较大的跳跃，若能处理好，意义决不是仅仅懂的了一个概念。
至少能使学生体会到点性质与整体性质是两个概念。
3.定积分
定积分的概念：定义、必要条件。
可积的充要条件：充要条件、常见可积函数类。
定积分的性质的证明举例：
广义积分概念、性质，两种广义积分的判敛法则。
4. 数项级数
数项级数的基本概念及性质；
正项级数及其比较判敛法,，达氏法则，柯两法则等；
任意项级数性质及其的判敛法, 交错级数的莱布尼兹法则，绝对收敛，条件收敛。
5. 函数项级数
函数项级数：一致收敛性的概念、函数项级数的解析性质；
幂级数 : 强调收敛半径的概念, 幂级数的解析性质；
函数()()α
x x e x x x ++1,1ln ,,cos ,sin 在00=x 处的Taylor 级数, 函数展成幂级数的直接方法和间接方法.
Fourier 级数: 函数的正交性，正交函数簇概念，三角函数正交性；函数展成Fourier 级数, 收敛定理。
Fourier 级数的平均收敛性.
注：加讲平均收敛性至少在以下几点使学生有所收获：
1． 可以接触到线性空间中范数的有关概念，将直观与抽想联系起来。
2． 接触到判断同一件事情可以有不同的标准。
3． 体会到如何用所学知识去证明（解决）一个问题。
(4) 微积分(II)教学基本要求(2学时/周, 32学时)
(一)说明
这是为信息、理科类开的课程。
(二)内容
基本内容同微积分(II) (3学时/周, 48学时)的内容,内容适当调整. 可与前面的微积分(I) (4学时/周, 64学时)内容综合考虑。
(5) 微积分(III)教学基本要求(4学时/周, 64学时)
(一)说明
《微积分(III)》内容包括多元微积分及微积分的进一步的应用. 其特点注重拓宽知识面，引入与近代数学知识的接口，同时加强数学应用意识与能力的培养。
(二)内容
(1) 多元函数微分学
1.2R (3R )的距离和收敛,开集和邻域,连通集和区域.多元函数的极限,连续函数定义
和性质；
2. 偏导数和(全)微分,高阶偏导数；
3. 复合函数微分法,方向导数和梯度；
4. 映射的微分*,雅克比矩阵*；
5. 隐函数微分法,由方程0),,,,(121=+n n x x x x F 确定的隐含数微分法; 6*.由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧==0),,,,,,,(................................
0),,,,,,,(21212121m n m n y y y x x x F y y y x x x F 确定的隐含数微分法; 7. 微分学应用(1):
空间曲线的切向量 ,空间曲面的法向量和切平面.
*活动标架: 曲线的曲率和挠率；
8. 微分学应用(2): 极值与条件极值。
(2)重积分
1. 二重积分的定义和性质；
2. 二重积分的计算:
在直角坐标系和极坐标系中化二重积分为累次积分；
3. 二重积分变量代换；
4. 用直角坐标系,柱坐标系和球柱坐标系计算三重积分；
5. 曲面面积,直角交坐标系下的面积微元和参数方程下的面积微元,第一型曲面积分。
(3). 线、面积分及向量函数
1.向量场的概念,第一型、第二型曲线积分,格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件；
2.第二型曲面积分概念和计算；
3.高斯公式于斯托克斯公式；
4.向量场初步:
数量场的梯度, 向量场的旋度和散度,保守场,无旋场.
(4).含参积分
1. 含参积分的概念,基本性质；
3.含参积分表示函数的解析性：连续、可微及可积性；
3. Γ-函数与β-函数。
(5).微分方程
1. 微分方程基本概念,存在唯一性定理(不证)；
2. 高阶线性方程解的结构,齐次、非齐次常系数高阶线性方程求解,应用；
3. 常系数线性微分方程组用特征值和特征向量求解.
注：对学微积分(I)(4学时/周, 64学时)的班级, 微分方程改为：
(5).微分方程
1. 常系数线性微分方程组用特征值和特征向量求解：
解的结构*,常数变异法；
2.稳定性概念和意义, 线性微分方程组解的稳定性。
还可适当增加选读内客。