对于函数 y=f(x),f(xx22)--fx(1x1)=
y叫作函数
x
y=f(x)从
x1
到
x2
的
变化率
函数 y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的
若函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 yx就是该质点在[x1,x2]上的
速度
概念
点 x0 处
㐠㠷
x→0
yx=
于与切点有关的问题非常重要.
变式题 曲线 y=ex 在点 A 处的切线与直线 x-y+1=0 平行,则点 A 的坐标为
()
A.(-1,e-1)
B.(0,1)
(1)能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1,y= 的导数.
(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于 形如 f(ax+b))的导数. (3)会使用导数公式表.
知识聚焦
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念 几何意义 物理意义 (2)导数:
方程
2.导数的运算
原函数 常数函
数
导函数 C'=0(C 为常数)
幂函数 (xn)'= 常用 导数 三角 公式 函数 (sin x)'=
(n∈Z) ,(cos x)'=
指数 函数 对数 函数
(ax)'= (logax)'=
(a>0,且 a≠1) (a>0,且 a≠1)
四则 加减 [f(x)±g(x)]'=
线在某点处的切线的区别.
变式题 曲线 f(x)=e4x-x-2 在点(0,f(0))处的切线方程是
.
角度 2 求切点坐标
例 3 若曲线 y=x2-2ln x 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为
.
[总结反思] (1)f'(x)=k(k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对
π 2
的值为
(
)
A.π2
B.1
C.-1 D.0
(2)[2019·天津河东区二模] 已知 f(x)=x·(a+ln x),若 f'(e)=1,则 a=
.
探究点二 导数的几何意义
角度 1 求切线方程
例 2 过点 P(2,-6)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线,则切线方程为
()
A.3x+y=0 或 24x-y-54=0
(2)函数 y=sin 2x+π3 -ln 2x 的导数 y'=
.
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化
简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的
符号,不要与求导的乘法公式混淆.
变式题 (1)[2019·榆林二中期末] 已知函数 f(x)=xsin x+cos x,则 f'
'( ) ( )]2
(g(x)≠0)
复合函数求 复合函数 y=f[g(x)]的导数与函数 y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系 y'x=
,这个关系用语
导
言表达就是“y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积”
对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数 f(x)=3x2 在[2,6]内的平均变化率为
几何 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数 f'(x0)就是函数图像在该点处切线的
.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))
意义 处的切线方程是
物理 意义
函数 y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在 x=x0 处的导数就是质点在 x=x0 时的
速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的
.
2.[教材改编] 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位:元)为 c(x)=150208-4 (80<x<100),当净化
到纯净度为 98%时费用的瞬时变化率为
.
3.[教材改编] y=ln(x+1)的导数是 y'=
.
4.[教材改编] 曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等于
B.3x-y=0Biblioteka 或 24x-y-54=0C.3x+y=0 或 24x-y+54=0
D.24x-y-54=0
[总结反思] (1)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键 是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲
㐠㠷 f(x0+
x→0
xx)-f(x0),我们称它为函数 y=f(x)在
f'(x0)= 㐠㠷
x→0
yx=
㐠㠷 f(x0+
x→0
x)-f(x0) x
处的导数,记为 f'(x0)或 y'|x= x0,即
区间 (a,b)
当 x∈(a,b)时,f'(x)= 㐠㠷
x→0
yx=
㐠㠷
x→0
叫作函数在区间(a,b)内的导数
【高中数学】听课手册
第 14 讲 《变化率与导数、导数的运算》
内容要求 1.导数概念及其意义 (1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数 学表达,体会导数的内涵与思想. (2)体会极限思想. (3)通过函数图像直观理解导数的几何意义. 2.导数的运算
.
题组二 常错题
◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆 f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)
与[f(ax+b)]'的区别.
5.函数 f(x)=x2 在区间[1,2]上的平均变化率为
,在 x=2 处的导数为
.
6.已知函数 y=sin 2x,则 y'=
.
7.已知 f(x)=x2+3xf'(2),则 f(2)=
特例或推广
1
'=-
1
2
偶(奇)函数的导数是
奇(偶)函数,周期函数
的导数是周期函数
(ex)'=ex
(ln x)'=1,(ln|x|)'=1
( ∑ 㐠( ))' = ∑ ' 㐠( )
㐠=1
㐠=1
运算 法则 乘法 [f(x)·g(x)]'=
[Cf(x)]'=Cf'(x)
除法
() ()
'=
1 ()
'=-[
.
8.已知 f(x)=x3,则 f'(2x+3)=
,[f(2x+3)]'=
.
探究点一 导数的运算
例 1 (1)[2019·吉安重点高中月考] 已知函数 f(x)的导函数为 f'(x),且满足关系式 f(x)=x2+3xf'(2)+ex,则
f'(2)= ( )
A.-2
B.e22-2
C.-e22
D.-e22-2