S-N-K方法
目的是寻找同质子集，简单地说，各组均值首先按从小 到大的顺序排列，然后根据多重比较结果将所有的组分为若 干个子集，子集之间的各组间有差别（P值小于0.05），子集 之内的各组间无差别。
问题：分析不同地区的销售额总体上是否会随着地区人口密度的减
少（地区编号大人口密度低）而呈现某种变化趋势
Scheffe方法
当各水平下观测值个数不相等，或者想进行复杂的比较时，
或对所有可能的组合进行同步比较时，可选用此方法。这种
检验被用来检验组间均值的所有可能的线性组合，而不只是 成对组合，并控制整体显著性水平为0.05。这种方法相对比
较保守，有时候方差分析F值有显著性，用该方法进行两两比
较却找不出差异。
值存在细微差别也有可能被检验出来，但此方法对
第一类弃真错误不进行控制和调整。
Bonferroni方法
修正最小显著性差异法。用T检验完成组间成对均值的比 较，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率。因此 采用此方法看到的显著值是多重比较完成后的调整值。
Tukey方法
用q检验完成各水平下观测值个数相等时组间成对均值的 比较。一定程度可以保证犯一类错误的概率总体上不增大。
当
p
p
时，拒绝原假设，即认为控制变量
不同水平下观测变量各总体的均值存在显著差异； 当 时，则不能拒绝原假设，即认为控
制变量不同水平下观测变量各总体的均值没有显 著差异
广告形式对销售额的单因素方差分析 分析
方法 一
比较均值
单因素AVOVA
因为F值对应的概率P值小于0.05，所以拒绝原

设控制变量A有k个水平，B有r个水平，每个交叉水 平下均有l个样本，则在控制变量A的水平Ai和控制 变量B的水平Bj下的第k个样本值 xijk 定义为：
xijk ai bj (ab)ij ijk
(i 1, 2,...k; j 1, 2..., r; k 1, 2..., l )
控制因素的交互作用能否对观测变量的分布产生显
著影响，进而找到有利于观测变量的最优组合。
基本思想
确定观测变量和若干个控制变量
剖析观测变量的方差 比较观测变量总离差平方和和各部分所占的比例
SST SSA SSB SSAB SSE
第一，控制变量独立作用 的影响 第二，控制变量交互作用 的影响 第三，随机因素的影响

数据变异用离均差平方和表示。
衡量同一水平下 样本数据的误差
组内误差（随机误差）
数据误差 随机误差
组间误差
系统误差
衡量控制变量不同造成的 变差

方差分析的核心是方差可分解。这里的方差是指通 过计算各观测值偏离均值的平方和再除以n-1得到。
这样，在给定n的情况下，方差就是离差平方和，
简称SST。

观测因素（观测变量）：在进行方差分析时，每个控制因素水平下得到的样本数据。来自方差分析基本原理
方差分析中判断总体均值是否相等一般是通过对数据变异来 源的分析判断得到。

变异来源有两种情况：控制因素和随机因素。 控制因素：控制变量不同而造成的变异。 随机误差：在同一因素下的观察值由于抽样的随机性造成的 误差（抽样误差）。
多因素方差 分析的饱 和模型
提出零假设
H 0 : a1 a2 ak 0 b1 b2 bk 0 (ab)11 (ab)12 (ab) kr 0
H1 : a1 , a2 , ak 不全为0 b1，b2， bk 不全为0 (ab)11， (ab)12， (ab) kr 不全为0
单因素方差分析的基本步骤
单因素方差分析的基本操作
单因素方差分析的应用举例
单因素方差分析的进一步分析及应用
概念
单因素方差分析研究的是一个分类型自变量对一个
数值型因变量的影响。
例如：学历是对工资收入的影响。
基本思想
明确观测变量和控制变量

eg.前面例子中观测变量是收入；控制变量是学历
都可以使用方差分析方法去解决
方差分析概念

方差分析是检验多个总体均值是否相等的一种方法。本质上是研 究分类型自变量对数值型因变量的影响。
几个基本概念
控制因素(控制变量)：在方差分析中，所要检验的对象称为因素。
其常为一个或多个离散型的分类变量。
水平：因素的不同类别或不同取值为因素的不同水平。因素的 每一个水平可以看作一个整体。
根据统计学原理，组间均方和组内均方的比值构成 F分布。给定显著性水平，通过和F分布统计量的概 率P的比较，推出总体均值是否存在显著差异。
方差分析一般应满足3个基本假设，即要求：

各个总体应服从正态分布


各个总体的方差相同
观测值是独立的。
单因素方差分析的基本思想 单因素方差分析的数学模型
单变量
因为概率P小于0.05， 所以拒绝原假设，即认 为线性模型对观测变量 有一定的解释作用
后面的几个概率中，除了交互作用中概率 大于0.05外，其余的全小于0.05，说明除了交 互作用差异不显著外，其它的都显著
多因素方差分析的非饱和模型

两因素的非饱和模型：SST=SSA+SSB+SSE 三因素的非饱和模型： SST=SSA+SSB+SSC+SSABC+SSE
SSA nij ( xi x)2
A i 1 j 1
k
r
SSB nij ( xi x)2
B i 1 j 1
r
k
SSE ( xijk xij
i 1 j 1 k 1
r
k
nij
AB 2
)
SST SSA SSB SSC SSAB SSBC SSAC SSABC SSE
的变动主要是由控制变量引起的，否则，则不是。
在水平Ai下的第j次试验的样本值
xij i ij (i 1, 2,..., k; j 1, 2,...r )
1 k i k i 1
xij可以定义为：
ai i (i 1, 2,..., k )
单因素方差分析的数学模型为 xij ai ij (i 1, 2,..., k; j 1, 2,...r)
趋势检验
在多重比较分析后得知宣传品广告效果最差，其余略有差异（先验的 结论）。这里可以对报纸、广播和体验的整体效果进行进一步的对比 分析。
先验对 比检验
所有系数之和 为0
不同广告形式下销售额总体方差齐性检验
因为P值大于0.05，所 以不能拒绝原假设， 即认为方差齐性
多重比较检验（分析哪种广告形式作用明显）
SSAB /(k 1)(r 1) MSAB SSE / kr (l 1) MSE
SSB /(r 1) MSA FB SSAB /(k 1)(r 1) MSAB

计算检验统计量观测值和概率P值

给出显著性水平 ，并作出统计决策
变量A的不同水平对观测变量产生了显著影响。
方差分析概述
单因素方差分析
多因素方差分析
协方差分析

在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结 果的影响。通常是比较不同实验条件下总体均值间的差异

举例

医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等 不同广告形式、地区规模等因素对广告效果的影响等
配是否会对销售额产生影响呢？而哪种搭配方式又
可以获得最理想的销售业绩呢？
多因素方差分析的基本思想 多因素方差分析的数学模型
多因素方差分析的基本步骤
多因素方差分析的基本操作 多因素方差分析的应用举例 多因素方差分析的进一步分析及应用
概念
多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制 变量是否对观测变量产生显著影响。它不仅能分析 多个因素对观测变量的独立影响，更能够分析多个
对四个服务行业的服务质量进行评价，较高得分 表示较高的服务质量。对航空公司、零售业、旅
馆业和汽车制造业进行的评定数据见四种不同行
业评价得分 .sav 。在显著性水平 =0.05 下，检验四 种行业质量等级的总体均值是否差异显著？你的 结论如何？
问题引出
在上一节课，我们已经研究了不同广告形式对 产品销售有显著影响，不同地区的产品销售额也存 在显著差异，然而，不同广告形式和不同地区的搭
（1）若FA的概率p< ，则拒绝原假设，即认为控制 （2）FB的概率p< ，则拒绝原假设，即认为控制变 量B的不同水平对观测变量产生了显著影响。 （3）FAB的概率p< ,则拒绝原假设，即认为控制变 量A、B的交互作用对观测变量产生了显著影响，然
后再依此对A、B的效应进行检验
分析
一般线性模型
假设，即认为不同广告形式对销售额有显著差异。
方法二
分析
比较均值
均值
单因素方
差分析一 定要选上

一、方差齐性检验
对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行分析 (方差分析前提条件)

二、多重比较检验 如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响，进一步应确定
控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何，其中哪个水平
选择检验统计量
随机效应模型
FA SSA /(k 1) MSA SSAB /(k 1)(r 1) MSAB
固定 效 应 模 型
FA FB FAB
SSA /(k 1) MSA SSE / kr (l 1) MSE SSB /(r 1) MSB SSE / kr (l 1) MSE