因式分解定义
像上面右边是整式乘法、左边是把一个多项 式化成几个整式（单项式和多项式）的积的 形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式
自学指导
思考整式乘法与因式分解之间的关系？ 整式乘法与因式分解是互为逆运算变形过程.
因式分解有什么特点： 1、等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式 2、等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号 3、分解到不能再分解为止
例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是 因式分解，哪些不是，为什么？
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2； （2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
（1） a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
解 是. 因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b 的积的形式.
（2） m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .
解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个 多项式乘积的形式.
例2 检验下列因式分解是否正确. （1） x2 + xy = x(x+y) ； （2） a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ； （3） 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .
解方程
x2 1 0
③
把③式左端的多项式因式分解，得
x 1 x 1 0 ④
从④式得 x 1 0 或 x 1 0
即 x 1 或 x 1
因此方程③的解是 x 1或x 1
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最 基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的 解决架起了桥梁．
例如，以后我们要学习的分式的约分，解一 元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.
因式分解的概念
复习与回顾
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=a_m__+_a_n__ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=a_m__+_an_+_b_m__+_b_n__ 2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a_2___b_2__ (2)完全平方公式: (a±b)2=_a_2__2_a_b_+__b_2_
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)=3_x_2-_3_x_
(2) (m+4)(m-4)= _m_2_-1_6
(3) (y-3)2= _y_2-_6y_+_9__
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-_a
(1) 3x2-3x=_3_x_(_x_-1_)_ (2) m2-16=_(m__+_4_)_(_m_-_4_) (3) y2-6y+9=_(y_-_3_)_2_ (4) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_ (5)ma+mb+mc
(5) m(a+b+c)
=_m__(a_+__b_+_c_) __
=_左右两边的运算有什么特点?
（1）6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同 理，3也是6的一个因数．
分析 检验因式分解是否正确 ，只要看等式右边的几个多项 式的乘积与左边的多项式是否 相等.
（1） x2 + xy = x(x+y)
解 因为x( x + y ) = x2 + xy ， 所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.
自学检测 一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把 x2 1 写成 x 1 x 1 的形式，叫作把 x2 1 的因式分解
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均 含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项 式因式分解．
为什么要把一个多项式因 式分解呢？
你会解方程 x2 1 0 吗?
利用平方差公式，把方程的左边 x2 1写成(x+1)(x－1)， 就得到方程
(x+1)(x－1)＝0
这样就可以求出解了．
把 x2 1 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 x2 1因式分解．
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
做一做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)=3_x_2-_3_x_
(2) (m+4)(m-4)= _m_2_-1_6
(3) (y-3)2= _y_2-_6y_+_9__
对于多项式 x2 1与x 1 ，有多项式x－1使得 x2 1 x 1 x 1
，我们把x+1叫作x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此 时，h 也是 f 的一个因式．
(4) a(a+1)(a-1)= __a3_-_a
(5) m(a+b+c) =_m__a_+_m_b_+_m_c
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_3_x_(_x_-1_)_ (2) m2-16=_(m__+_4_)_(_m_-_4_) (3) y2-6y+9=_(y_-_3_)_2_ (4) a3-a=_a_(_a_+_1_)(_a_-_1_)_ (5)ma+mb+mc =_m__(a_+__b_+_c_) __
探究
993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. 你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
答：98， 99
做一做