第十一章 无穷级数一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。

（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。

（ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。

（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。

（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。

Ⅱ、基本题型：（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。

1．是非题：（每题4分）（1）∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u ，反之亦然。

（ ⨯ ）（2）∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=+1)(n n n v u 必发散。

（√ ）（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。

2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ）(A)∑∞=11n n(B))1(1∑∞=-n n(C)∑∞=--112)1(n nn (D)∑∞=11n n3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∞=13n n（B ）∑∞=+131n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+1311n n（ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。

4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑∞=+121n n n （2）∑∞=12sinn nπ（3）∑∞=+1)11ln(n n（4）∑∞=+1)12(n nn n解：（1）解：111lim2=+∞→nn nn∑∞=11n n发散 ∴∑∞=+121n n n 发散。

（2）解：12121sinlim=∞→n nn∑∞=121n n收敛 ∴∑∞=12sinn nπ收敛 。

（3）解：11)11ln(lim=+∞→nnn∑∞=11n n发散 ∴∑∞=+1)11l n (n n发散。

（4）解：nnn n 21)12(≤+∑∞=121n n收敛 ∴∑∞=+1)12(n nn n 收敛 。

（ⅳ）运用比值审敛法判别正项级数敛散性的题型。

5．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑∞=-1)2(12n nn （2）∑∞=123n n n（3）∑∞=-1565n nnn（4）∑∞=+122sin)1(n nn π（5）∑∞=1!2n n nnn ,你能求nnn nn !2lim∞→吗？（1）解：122lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=-1)2(12n nn 收敛 。

（2）解：13lim1>=+∞→nn n u u∴∑∞=123n n n发散 。

（3）解：165lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=-1565n nnn收敛 。

（4）解：121lim1<=+∞→nn n u u∴∑∞=+122sin)1(n nn π收敛 。

（5）解：12)11lim(2!2)1()!1(2lim111<=+=⋅++⋅=∞→+++∞→ennn n n u u n nnnn n nn n∴∑∞=1!2n nnnn 收敛 ⇒ nnn nn !2lim∞→=0（Ⅴ）运用莱布尼兹定理判别交错级数敛散性的题型。

6．判别下列级数的敛散性。

若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛？（每题7分）（1）∑∞=--121)!2()!()1(n n n n （2）∑∞=-+-1111)1(n n n（3）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n解：（1）141)!2()!()]!1(2[])!1[(lim22<==⋅++∞→n n n n n∴∑∞=--121)!2()!()1(n n n n 绝对收敛 。

（2）∑∞=-+-1111)1(n n n 条件收敛。

（3）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n 条件收敛。

（ )11)1ln(1lim=+∞→nn nⅢ、提高题型：（ⅰ）综合运用审敛法判定具体级数敛散性的问题。

7．（4'）设α为常数，则∑∞=-12]1)sin([n nnn α的敛散性--------------------------------（ C ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与α取值有关8．（4'）设0>λ，且∑∞=12n na 收敛，则∑∞=+-12||)1(n n nn a λ的敛散性-----------------（ A ）（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与λ取值有关9．判别下列级数的敛散性：（每题7分）（1）)0(11ln >∑∞=a an n（2）∑∞=>+1)0(11n na a（3）∑∞=13sin 2n nn n （4）∑∞=+-132005)1(n nn n解：（1）∑∑∞=∞==11ln ln 11n n anna当e a >时，原级数收敛；当e a ≤<0时，原级数发散。

（2）当1>a 时， 111111lim1<=+++∞→aaann n 故∑∞=+111n na收敛；当10≤<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==+∞→10,11,2111lima a ann 故当10≤<a 时，原级数发散。

（3）nnn n n 2sin 233≤而 12122)1(lim313<=++∞→nn n n n故∑∞=132n nn 收敛，即原级数绝对收敛。

（4）∑∞=+-132005)1(n nn n条件收敛。

10．判别下列级数的敛散性：（每题7分）（1）∑∞=+-++1124124lnn nnn n （2）)1()(1111>-∑∞=+a a a n n n解：（1）1242~)12421ln(124124ln11+-+-+=+-++++nnn nnn nn nn12112421242lim 1112<=+-+-++++∞→nn n n n n n故∑∞=+-++1124124lnn nnnn 收敛。

（2）当1>a 时)(111∞→-→-=+n a a a s n n∴ 当1>a 时，原级数收敛。

（ⅱ）涉及抽象级数敛散性的证明。

11．（7'）设0,0>>n n b a ，且满足,...2,1,11=≤++n b b a a nn nn求证：若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散。

证明：,...2,1,11=≤++n b b a a nn nn ∴,...2,1,11=≤++n b a b a n n n n∴ nn n n b a b a ≤++111111b a b a n n ≤≤≤--由比较审敛法易证：若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散。

12．（8'）设,...)2,1()1(21,211=+==+n a a a a nn n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在； （2）∑∞=+-11)1(n n n a a 收敛。

证明：（1）1221)1(211=⨯≥+=+nn n a a a 2),2(1=≥a n0)1(211≥-=-∴+nn n n a a a a故{}n a 递减且有下界，因此n n a ∞→lim 存在。

令n n a ∞→lim =A ，则1(1)1(21-==⇒+=A A AA A 舍去）（2）令n n n n n u a a a a =+-=-+1112211011141limlim22421<=+++-=∞→+∞→nn n n n nn n a a a a u u∑∞=+-11)1(n n n a a 收敛。

二、幂级数（A:§11.3,§11.4; B:§10.3,§10.4） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念。

（ⅱ）熟练掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法。

（ⅲ）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，学会计算一些简单幂级数的和函数。

（ⅳ）记忆xx x x e x±+11)1ln(,cos ,sin ,及的麦克劳林展开式。

（ⅴ）学会利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。

（ⅵ）学会用幂级数进行一些近似计算（自学）。

Ⅱ、基本题型：（ⅰ）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法。

13．（4'）设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该幂级数的收敛域为)2,0[14．求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1）∑∞=-12)1(n n nnx ]1,1[- （2）nn nx n ∑∞=+112)21,21[-（3）])4()21[(1nnn x x +∑∞= )41,41(- （4）nn x n n ∑∞=1ln )1,1[-15．求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1）nn n xn 2114⋅⋅∑∞=- )21,21(-（2）∑∞=+-1132)12(n nn n x)2,2[33-（3）nn n x nn )1(2112+∑∞=- )43,45[--（4）)0()1(11>-∑∞=p x nnn p⎩⎨⎧≤<>10),2,0[1],2,0[p p （ⅱ）利用xx x x e x±+11),1ln(,cos ,sin ,的麦克劳林展开式将一些简单的函数用初等方法展开成幂级数。

16．填空题： （1）（4'） 2xe 的麦克劳林展开式为∑∞=02!n nn x.（2）（4'） x 2cos 的麦克劳林展开式为∑∞=+-021)!2()2()1(n nn n x .17．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的区间：（每题7分） （1）6512+-x x （2）)2ln(x +（3）x 2sin （4）)23ln(2+-x x解：（1）6512+-x x =31131211213121x x xx-⋅--⋅=---∑∞==221n nn x ∑∞=-331n nn x ∑∞=++-=11)3121(n nn n x（2）)2ln(x +=+=++2ln )21ln(2ln x ]2,2(,2)1(11-∈⋅-∑∞=-x n xn nn n（3）x 2sin=∑∞=--=-02)!2()2()1(212122cos 1n nnn x xnn nn xn 211)!2(4)1(∑∞=+-=（4）)23ln(2+-x x =)1ln(x -)2ln(x -+ =)21ln()1ln(2ln x x -+-+=+2ln ∑∞=--11)1(n nn nx∑∞=-⋅-+112)1(n nn n n x=+2ln nn nn x n∑∞=---+11)211(1)1(18．将下列函数在指定点0x 处展开成)(0x x -的幂级数，并指出展开式成立的区间： （1）（7'）2312++x x ，40-=x （2）（7'）1ln+x x ，10=x解：（1）2312++x x =241121+-x 341131+--x)2,6(,)4)(3121(011--∈+-=∑∞=++x x n nn n（2）1ln +x x =)211ln(2ln )]1(1ln[-+---+x x=2ln -]2,0(,)1(212)1(11∈-⋅--+∑∞=-x x n nn nnnⅢ、综合题型：（ⅰ）求幂级数的收敛域，并利用逐项求导，逐项积分或初等方法求幂级数的和函数，并由此确定某些常数项级数的和。