第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a，则级数∑∞=1n nau BA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a收敛，当0<a 发散 D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n nn 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
22、当参数p 满足条件 时，级数∑∞=++-111)1(n p n n 条件收敛。
23、若级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为R ，则级数∑∞=02n n nx a的收敛半径为24、若级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为R ，则级数nn n n x a ∑∞=+012的收敛半径为 25、级数∑∞=+-01!)1(n n n x n 的和函数为26、级数∑∞=---021)!12()1(n nn x n 的和函数为27、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数，周期为π2，且)(x f 在(]ππ,-的表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x x f 0,10,1)(22，则)(x f 在π=x 处的付立叶级收敛于28、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数周期为2，且⎩⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则)(x f 在3=x 处的付立叶级数收敛于29、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数，周期π2=T ，且)()(2πππ≤<-+=x x x x f ，其付立叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则系数=3b30、设函数)10(,)(2<≤=x x x f ，其付立叶级数为∑∞==0sin )(n n xn b x S π，其中系数⎰=10s i n ).(2xdx n x f b n π，则=-)21(S21、21>α 22、01≤<-p 23、R 24、R 2 25、xxe -26、x x sin 27、2π 28、3/2 29、π32 30、41-三、计算题1、判别级数nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1133的敛散性。
2、判断级数∑∞=-1576n nn n的敛散性。
3、判断级数∑∞=1!.3n n n n n 的敛散性。
4、求幂级数∑∞=⋅+15)1(n nnn x 的收敛域。
5、求幂级数∑∞=⋅-13)1(n nnn x 的收敛域。
6、求幂级数∑∞=--+112)3(2n n nn x n的收敛区间（不讨论端点处的敛散性）。
7、求级数∑∞=+11n n nx的和函数。
8、求级数∑∞=-112n n xn 的和函数。
9、求级数∑∞=++-01212)1(n n nn x 的和函数。
10、将函数321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间。
11、证明：若正项级数∑∞=0n n a 与∑∞=0n n b 均收敛，则级数∑∞=0n n n b a 与∑∞=0n nna 也收敛。
12、证明：若0lim ≠=∞→a a nn ，则级数∑∞=+-11n nn a a 与nn a a 111-+同敛散性。
1、解：∵0)1311(lim )133(lim lim 31≠=+-=+=-∞→∞→∞→e n n n u nn n n n n ， ∴根据级数收敛的必要条件，原级收敛发散。
2、解：∵176576576lim lim 1111<=--=+++∞→+∞→nn n n n n n nn n u u ， ∴根据比值审敛法，原级数收敛。
3、解：∵13)11(3lim )1().1(3lim !.3)1()!1.(3lim lim 1111>=+=++=++=∞→+∞→++∞→+∞→enn n n n n n n u u n n n n n n n n n n n n n ∴根据比值审敛法，原级数发散。
4、解：∵155).1(5).2(lim)()(lim 111<=++=++∞→+∞→x n x n x x a x a nnn n n nn n （令）即55<<-x ，当5-=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=+-=+-111)1(5)1()5(n nn nn n n ，收敛；当5=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=+=+11115)1(5n n nn n n ，发散。
故原级数的收敛域为[)5,5-。
5、解：∵131.3)1()1(3)1(lim )()(lim 111<-=-+-=++∞→+∞→x n x n x x a x a n nn n n n n n （令），即42<<-x ，当2-=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=-=⋅--11)1(3)12(n n nnn n n ，收敛；当4=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞==-111.3)14(n n nn n n ，发散。
故原级数的收敛域为[)4,2-。
6、解：∵21112111211)3(2)3(2lim )3(2.)3(2)1(lim )()(lim xnn x n x n x a x a n n n n n n n n n n n n nn n ⋅+⋅-+-+=-+-++=++∞→-+++∞→+∞→13.)3().(21)(lim 223232<=-++=--∞→x x n n n （令），即32<x 。
∴原级数的收敛区间为)3,3(-。
7、解：原式∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-'-='='==11212212]1[][)(n n n n n nnn x x x x xxnxx)1,1(,)1(]111[222--='--=x x x x8、解：原式∑∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=∞=--'+''=+-=+-=11111111)()()1(])1([n n n n nn n n n n x x x nxxn n xn n n]111[]111[]1[]1[][][011'--+''--='-+''-='+''=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=xx x x x x x x x n n n n n nn n )1,1(,)1(1)1(1)1(2323--+=-+-=x x x x x9、解：原式⎰⎰∑⎰∑∑∞=∞=+∞=+-='+-='+-=xx n x n n n n n n ndx x dx n x dx n x 00000212012)(]12)1[(]12)1([⎰-=--=xx arrc dxx 02)1,1(,tan )(1110、解：∵∑∞=-=-0)1,1(,11n n x x∴)(1141311121]1131[41)3)(1(1)(x x x x x x x f -----=+--=-+= ∑∑∑∞=∞=+∞=--+-=---=0010)3,3(,])1(31[41)(41)3(121n n n n n n n n x x x 11、证（1）∵对于任意正数n n b a 与恒有0)(2≥-n n b a ，即02≥+-n n n n b b a a 。