2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q = ðA.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm 3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A. 11BF AF -- B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 6. 设,A B 是有限集，定义：(,)()()d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A中的元素个数.命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+. A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB a '∠≥二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9. 双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 12. 若4log 3a =，则22aa-+= ．13. 如图，三棱锥A BCD -中，3A B A C B DC D ====，2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．14.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e =，若空间向量b 满足1252,2b e b e ==，且对于任意,x y R ∈，12010200|()||()|1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，||b = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为7，求b 的值。

17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，112,4,AB AC A A A ===在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[-1,1]上的最大值。

（Ⅰ）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）当,a b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （Ⅰ）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （Ⅱ）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分40分。

1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.y x = 10.311.37,[,]()88k k k Z πππππ++∈13.7814.315.1三、解答题：本大题共5小题，共74分．16.本体主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得 2211sin sin 22B C -=所以2cos 2sin B C -=又由4A π=，即34B C π+=，得 cos 2sin 22sin cos B C C C -==解得tan 2C =（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin C C ==又因为sin sin()sin()4B AC C π=+=+，所以sin B =由正弦定理得3c =， 又因为1,sin 342A bc A π==，所以bc =，故3b =17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

（Ⅰ）设E 为BC 的中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，所以1A E AE ⊥.因为AB AC =，所以AE BC ⊥. 故AE ⊥平面1A BC .由,D E 分别为11,B C BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A 且1DE A A =，所以1A AED 为平行四边形. 故1//A D AE .又因为AE ⊥平面1A BC ，所以1A D ⊥平面1A BC . （Ⅱ）方法一：作1A F BD ⊥且1A F BD F = ，连结1B F .由1190AE EB AEA AEB =∠=∠= ，得114A B A A ==. 1111,A D B D A B B B ==，得1A DB ∆与1B DB ∆全等.由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11ABD B --的平面角.由1114,90AD AB DAB ==∠=，得1143BD A F B F ===， 由余弦定理得111cos 8A FB ∠=-.方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线,EA EB 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示.由题意知各点坐标如下：1A，B，(D，1(B .因此11(A B BD DB === .设平面1A BD 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1B BD 的法向量为222(,,)n x y z =.由10,0,m A B m BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即111110,0,=-=⎪⎩可取m =由由10,0,n DB n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22220,0,=-=⎪⎩可取n =于是||1|cos ,|||||8m n m n m n <>== .由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角11A BD B --的平面角的余弦值为18-. 18.本题主要考察函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（Ⅰ）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-.由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，所以 (,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-.当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥.当2a ≤时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥.综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥. （Ⅱ）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2,|1||(1)|2a b f a b f ++=≤-+=-≤，故||3,||3a b a b +≤-≤，由||,0,||||||,0,a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩得||||3a b +≤.当2,1a b ==-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上最大值为2，即(2,1)2M -=. 所以||||a b +的最大值为3.19.本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（Ⅰ）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. 由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112()102b x x b m m+-+-=. 因为直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以 224220b m ∆=-++>，①将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线方程12y mx =+解得 2222m b m +=-②由①②得3m <-或3m >（Ⅱ）令1((0,22t m =∈- ，则2||2AB t =+，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设AOB ∆的面积为()S t ，所以1()||2S t AB d ==≤， 当且仅当212t =时，等号成立. 故AOB ∆面积的最大值为2. 20.本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。