石墨烯理论（中）值得注意，Dirac点必须是偶数个，这时Hall电导才会呈整数量子化；如果有奇数个Dirac 点，则会出现半整数量子化，而具有时间反演对称性的晶格系统保证了Dirac点是成对出现（Nielssen提出的“费米子加倍定理”）。

*费米子加倍定理：一个局域自由费米子晶格系统，若其作用量具有手征性以及平移对称性则费米子数会加倍。

我们不妨先考察量子场论中自由费米子作用量现在将d维空间连续费米子场引入到离散晶格系统（表示晶格格点），作用量变为为晶格常数，为晶格键方向上的单位矢量。

计算动量空间上系统的Green函数动量限制在Brillouin区中离散化，在离散取值附近展开Green函数，Green函数的极点代表粒子激发，我们会发现只有在Brillouin区顶点上的位置时Green 函数才会得到与连续时候一致，并且这时候发现Brillouin区并不只包含一个费米子极点，计算每个顶点上对应的每个动量分量都会得到一个费米子传播函数，譬如一维晶格Brillouin区上有两个顶点上的费米子（注意这时符号改变，正好会消除手征反常）；四维晶格格点中，动量分量取值，共十六个费米子。

对于d维空间晶格，则有个费米子。

因此在理想离散晶格中费米子数目成倍增加。

2.石墨烯中的量子自旋Hall效应最初量子自旋Hall效应的构造是C.L.Kane和Mele的从石墨烯结构引入了次邻近格点间电子的禀自旋轨道耦合，和的Dirac点因为自旋轨道耦合会打开体能隙，此时体态就变成了绝缘体;假设自旋守恒，Kane-Mele模型为不难发现这个模型正是前面讨论过的Haldane模型的叠加，其中自旋向上和自旋向下的电子分别处于一个Haldane模型晶格中，跃迁矩阵元互为共轭。

以为基，则哈密顿量是两个自旋部分的直和计算半有限系统会出现两条手征边缘态，穿过费米能级的四条边缘态，分别代表两个边缘上的上下自旋。

石墨烯系统里的自旋轨道耦合作用是个复杂的事情，一方面碳原子质量数小，因此自旋耦合轨道作用比较弱。

另一方面，多体格点系统里面，价电子自旋可以和本格点(on-site)碳原子，邻近原子间的价键轨道乃至次邻近的价键轨道动量进行耦合。

一般我们关心的是轨道上价电子输运性质，尤其是在Dirac点处低能电子受到这种弱的自旋轨道耦合作用影响产生的不同的电子结构性质;在Dirac点处的零能态因为时间反演对称性是Krames二重简并的。

在石墨烯平面系统中，价层原子轨道是形成的轨道，形成碳骨架的键是杂化轨道。

成分与三个成分之间有能量(键能)，还有价键轨道的能量。

紧束缚模型的哈密顿量里面的电子跃迁能量自然也需要考虑这些不同原子轨道、价键轨道间的跃迁能量。

从Thomas自旋轨道耦合项出发，由于自旋轨道耦合比较弱，我们可以将自旋耦合轨道作用项视为微扰项，可以在一个Brillouin区中考察Wannie表象下基态波函数完备集，两个顶点处也即Ferimi面附近的四重（包含了自旋简并）零能简并的轨道波函数（即A,B两个碳原子上的原子轨道组合成）与其他不与轨道简并的波函数（）进行简并微扰计算，到二级近似，当然也可以用Bloch表象波函数进行近似展开，那就是Dresselhaus计算石墨系统自旋耦合作用所采用的办法。

算出来在点的微扰矩阵元为：写出系统的低能有效自旋轨道耦合作用的哈密顿量这是个很有意思的结果，第一项是平庸的对角项耦合能量，可以忽略;微扰的一级项是较为常见的Rashba自旋轨道耦合项，来源于电子自旋与相应原子轨道动量耦合，在无外场时候这个项不重要；微扰二级项是所谓禀自旋耦合，由晶格对称性与碳原子轨道几何性质决定。

三个类似“自旋”的Pauli矩阵算符分别代表着电子真实自旋、石墨烯晶格结构（与A 和B原子轨道之间的耦合轨道运动自由度相关）的晶格赝自旋以及二重简并的谷自由度赝自旋（Brillouin区中包含和两个对称性不等价的简并能谷——二重谷简并) 。

石墨烯中的这两个谷由时间反演对称性相联系，这与电子自旋十分类似，所以石墨烯的谷自由度可视为赝自旋）以及真实的电子自旋，从构造上可以明显看出这个作用由晶格对称性和碳原子轨道几何性质所决定;这个项的出现在物理上的原因是轨道轨道之间混合的结果，换言之单纯的原子轨道混合对此没什么贡献，轨道混合才有净贡献，这一点也从Haldane模型的对这个禀自旋轨道耦合项写法中间接体现出来:跃迁格点间的两个键的单位矢量(从格点指向相邻的格点)叉乘后再和轨道上的电子自旋矢量点乘我们说过这个禀自旋轨道耦合将打开大小的能隙，这个能隙有多大？具体是需要去像上面那样微扰计算。

简便地估算我们可以选择简化的波函数。

前面第一节在二次量子化中对A，B原子的轨道进行叠加得到波函数，我们采用Nambu表象：。

是四分量波函数，这里我们不妨将之视为模恒定的包络函数；是A,B原子的处的波函数的模函数：为Brillouin区中等价于或者的另外三个顶点位置处的晶格动量，是从A到B 格点的基矢。

这样微扰矩阵元也可以得到相同结果。

简单地引入晶格间的Coulomb作用能，这时粗略估计得到能隙大小约为上面的估算并没有考虑电子间的长程Coulomb相互作用，在石墨烯中进一步计入Coulomb相互作用需要进行微扰计算。

现考虑无掺杂纯石墨烯晶格系统中的理想二维电子气体，引入Coulomb相互作用后变会变成某种Fermi液体系统哈密顿量为其中是电子密度算符石墨烯中的二维Coulomb相互作用电子液体理论和QED的情形很不同。

由于接近光速，因此认为Coulomb相互作用推迟效应很小几乎是瞬时。

而不想QED中光子是三维空间中传播，二维电子系统相互作用是限制于二维空间的，从哈密顿量可知Coulomb作用会破坏Lorentz对称。

正如同QED中l哈密顿量的两个参数是，二维电子系统理论也依赖于两个参数，并且在标度变化下不变。

以RG（重整化群）的语言来说，Coumlomb 作用是“临界变量”，与动能有关而不随标度变换改变。

在QED中的电磁作用耦合常数，在石墨烯二维电子系统中，能标下的耦合常数则是。

人们通常对Green函数微扰计算，对相互作用进行自能修正。

在Hartree-Fock近似下计算自能图，得到HF自能修正，是动量截断，依据Dirac方程的低能有效围而设定。

我们看到当，能谱将是对数发散的，因为二维电子系统的Coulomb作用是长程的因此有必要引入屏蔽来避免发散，我们在无规相位近似(RPA)下计算出极化函数是因此在情况下，零频极化率将消失，得到动态介电函数后将抵消掉原本真空Coulomb作用的发散源；这就是耦合常数重整化后得到计入真空极化屏蔽的耦合常数：。

以上是对于小耦合常数情形，而上面得到的结果有更深的含义。

原本长程Coulomb相互作用经过屏蔽后变成短程作用，Thomas-Fermi屏蔽长度为，为电子数密度，可以看到在二维电子系统中屏蔽长度很小。

弱的相互作用微扰过程中是稳定不会发散的，因此能谱在重整化群的标度变换下是不变的，重整化流方程：重整化群方程依赖于重整化参数的标度，依据原来未重整化的作用顶点，我们可单单以来表征标度特征。

在长波极限很小接近为零，从方程可知此即为重整化流的不动点（即重整化参数的鞍点）。

变小，微扰性质将更好。

这意味着即使在强关联作用情形，系统依旧会流向长波微扰极限。

这告诉人们是临界无关的。

因此一定动量截断，小的色散关系将由上面重整化群方程给出，得到关于Fermi速度在下的对数重整化。

临界无关的含有对数修正项且在低能标下依然存在，这时我们的系统在低能情形变成一种临界Fermi液体。

在能标截断下有，，解重整化方程得到重整化参数。

该结果与大N极限展开（N是电子规自由度，类似“味”）得到的结果相同。

我们把这些方法应用到自旋耦合轨道能的修正上去。

下面这个就是对具有自旋轨道耦合顶点项的传播子加上Coulomb作用的正规自能1PI图：重整化流方程：在能标的重整化为，选定一定截断有效作用，得到重整化自旋轨道耦合能，比较可知引入电子间相互作用后将会更明显地拉大能隙。

有界石墨烯晶格系统会产生两条无能隙螺旋边缘态，它们在边界上会形成一些没有“背散射”的导电通道（也就是不受杂质散射影响的理想导体）。

这是由于体态的非平庸拓扑性保护而对各种非磁性杂质具有鲁棒性。

考虑由于杂质导致的Krames对,之间的散射矩阵元。

对1/2自旋的电子时间反演算符为，其中是取复共轭操作算符，是自旋投影算符，且有。

非磁性杂质散射势满足，，Krames对之间，，即对于互为时间反演共轭的两个边缘态在保持时间反演对称的散射势下，其跃迁矩阵元为零。

也可以用Büttiker-Floquet 散射矩阵理论描述：考虑向左、向右运动的边缘态组成的入射态以及出射态, 时间反演对称将联系入射态和出射态，散射矩阵为，因此推得时间反演对称性使得, 这么一来，描述背向散射的矩阵元消失。

因此输运中是完美地穿过势垒，不存在非弹性背向散射。

很重要的一点情况是时间反演对称性依旧存在，而且在极化情况下自旋在方向是守恒的，也就是是个好量子数。

而当加入外电场(实际上材料也往往存在破坏自旋守恒的因素，譬如应变导致结构反演对称受破坏)，那么这时候一级作用——Rashba自旋轨道耦合也就起很大影响。

而由于不是守恒的好量子数，也就无法定义自旋流了也就不再有量子自旋Hall电导，因而不再处于QSH相。

然而值得庆幸的是，Rashba耦合项只是破坏空间反演对称性并没破坏时间反演对称性，那么作为边缘态出现的一对无质量Dirac费米子依旧会保留下来(这固然需要依据情况适当调节Fermi面与边缘态相交)。

当Rashba耦合能增大到比禀耦合能大时，这时候边缘态不再是无能隙的，即打开了整个系统的能隙，这是意味着这是个量子相变临界点。

相变后变成弱的时间反演对称保护的二维非平庸拓扑绝缘体相，只不过自旋不守恒而失去QSH相。

当系统进入拓扑平庸相的参数区，边缘态也不再具有鲁棒性(从能谱中可看到，当Fermi 面移动不与边缘态谱线相交时候就不再有无质量Dirac费米子出现，杂质的干扰可以把这种边缘态可以拉进体态中)。

综上所述，我们明白了具有时间反演对称性的二维系统绝缘体有两类:拓扑非平庸相和拓扑平庸的普通绝缘体相。

当然，要判断系统处于何种相就要计算自旋数之差，也就是拓扑不变量。

当哈密顿量存在时间反演对称性，系统不存在Hall电流而Hall电导为零。

因此不论系统是否具有其他的拓扑性质第一数都等于零，这样就不能用第一数来对具有时间反演对称性的系统进行拓扑分类。

然而量子自旋Hall系统却具有净自旋流输运：，自旋Hall电导为：。

于2006年，Liang Fu和Kane提出了用时间反演极化定义拓扑数的方法来刻画系统的拓扑序。

他们证明了拓扑数的数值等于系统在自旋泵送周期过程中，自旋反演极化在泵送起始点和终点上的差值，也就是自旋数，故而。