x y
1 E
[
x
1 E
[
y
( y ( x
z )]
z )]
z
1 E
[
z
( x
y )]
xy
xy
G
(4-4)
yz
yz
G
zx
zx
G
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
xy
xy
G
式中，G E
为剪切弹性模量
2(1 )
纯剪应力状态
8
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律
➢ 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各
向同性均匀材料的广义 胡克定律，其形式为：
（各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 μ、E、G 值）
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：
x
1 E
[(1
) x
],
xy
1 G
xy
y
1 E
[(1
) y
],
yz
1 G
yz
(4-6)
z
1 [(1 E
) z
],
zx
1 G
zx
x
式中： ex=x- 0 为应变偏量分量， x x m 为应力偏量分量。
用相同的方法，可得：
ey
1
E
y
1 2G
y
ez
1
E
z
1 2G
z
12
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式
ex
1
E
x
1 2G
11
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 由式(4-6)及式(4-5)，可得
x
0
1 [(1 E
) x
]
1
2
E
m
1 E
[(1
)
x
3 m ]
1 2
E
m
1
E
(
x
m)
即：
ex
1
E
x
1 2G
x
ey
1
E
y
1 2G
y
ez
1
E
z
1 2G
z
➢ 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：
ex ey ez xy yz zx 1 x y z 2 xy 2 yz 2 zx 2G
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
4.3.1 边界问题类型 4.3.3 应力边界问题
4.1.2 胡克定律 4.1.4 广义胡克定律
4.2.2 平衡方程 4.2.4 本构方程
4.3.2 位移边界问题 4.3.4 混合边界问题
2
§4-4 按位移求解弹性力学问题 §4-5 按应力求解弹性力学问题 §4-6 平面问题和应力函数 §4-7 圣维南原理 §4-8 叠加原理 §4-9 悬臂梁受均匀分布载荷作用 §4-10 简支梁受均匀分布载荷作用 §4-11 具有小圆孔的平板的均匀拉伸 §4-12 位错引起的应力与弹性应变能
x y
x
E
y
E
y
E
x
E
1 E
(
x
1 E
(
y
y ) (4-3)
x )
7
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态：
在x和y作用下，z方向的应变
εz= -μ(x＋y)/E
在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 应变与纯剪时相同，即：
3
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.1 问题的提出 ➢ 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。
➢ 已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。
拉伸或压缩方向：x =·x 与拉伸或压缩垂直的方向： y = z=-μ·x
式中： －弹性模量， μ－泊松比
5
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态:
➢ 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的。
平面双向拉（压）应力
纯剪应力状态
6
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
平
面
2、平面应力状态:
应
力
由于应力x的作用：
时
x方向应变为 x
的 胡
E
克
y方向应变为 x
定 律
E
由于应力y的作用： y方向应变为 y
E
x方向应变为 y
E
同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为
Hale Waihona Puke xyz1 E
[(
x
y
z ) 2( x
y
z )]
1 2
E
(
x
y
z)
如令
x y z 30,x y z 3m
则上式可写为
1 2
E
或
0
1
2
E
m
(4-5)
(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的
球张量成正比，而与应力偏量无关。
10
弹性与塑性 力学基础
➢ 未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义 胡克定律。
4
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.2 胡克定律
1、单向拉伸（压缩）：
➢ 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变
x
1 E
[ x
弹性与塑性力学基础
第四章
广义胡克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法
1
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.1 应力与应变关系的提出 4.1.3 泊松比
§4-2 基本方程
4.2.1 弹性阶段本构关系 4.2.3 几何方程
§4-3 边界条件