弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 对应于主方向的正应变则称主应变
2.3.2 应变张量
一点的应变状态也可用张量表示，这时应引进符号
xy yz zx
1 2 1 2 1 2 1 v u x y 2 1 v w z y 2 1 w u 2 x z
由直角三角形 A B B 可得
tg
u x
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
u x
在分母中，
w x
用相同的方法可得

F 0 F1 F0
(F0、F1：分别为变形前后的截面积)与 是等效的。
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第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 名义应变(工程应变)
名义应变主要缺点：把基长看成是固定的，所以并不能真实地反 映变化的基长对应变的影响，因而造成变形过程的总应变不等于
(2-2)
如果变形的分布是均匀的，正应变可以写为
x
l l0 l0 l l0
(2-3)
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 直角坐标系中变形物体的微小的平行六面体，研究微小六面体变形
变形前：A (x，y，z)；变形后：A (x+u,y+v, z+w)，
§2-2 应变与位移的关系
2.2.1 应变 变形
物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为物体有了变形。
应变 发生变形的物体中将出现应变状态。
均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为平行直线
不均匀应变：不同点的位移是不同的 正应变定义为
x lim
x 0
u x

du dx
r 、 z 、
r
u r
zr
――分别为剪应变。
1 v r u r
在平面极坐标的情况下，则有 ，

，
r

1 u r

v r

v r
(2-11)
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较 主要差别在于柱坐标中 和 r 中各多出一项，其几何意义如下：
应变，即六面体夹角的减小对应于正的剪应变 x z ，夹角的增大对应
于负的剪应变。
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.3 应变与位移的关系―柱坐标的变形几何方程 利用类似的方法导出柱坐标的变形几何方程为
r z
u r 1 v r w z u r
假定平面物体的半径为r，圆周上微圆弧段发生了相同的位移u，则变
形后该微单元弧段长度为(r+u)d，而原始长度为rd，相对伸长为

( r u ) d rd rd u r
图2-9 具有相同径向位移的微圆弧
图2-10 具有环向移动的圆弧
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
六面体的各直角由于剪应变而发生角变形
变形前：直角BAC或 B A C 变形时，棱边 A B 转动角度 ； 棱边 A C 转动角度 。 xOz平面内：角应变用 即 其值为角 和角 之和，
x y z
u x v y w z

xy
yz
zx
v y x w v y z w u x z
u
(2-9)
对于正应变 x ，如果u随x的增大而增大，则为正值，相当于单元 dx的伸长；如果函数u随x的增大而减小，则将为负值，此时相当于 单元dx的缩短。
(2-4)
B点沿x轴位移与A点位移不同，由泰勒级数展开并略去高阶微量后， 表达式为
u 1 f 1 ( x dx , y , z ) u u x
dx
(2-5)
如果边长AB=dx，则在x轴上的投影的全伸长量是
u1 u u x dx
(2-6)
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前与半径重合的直线段AB，变形后移动到CD位置，不再与C点的半 v 径方向CE相重合，而彼此的夹角为 ，于是微元线段AB变形后的 r v CD与C点圆周切线(坐标线正方向)夹角为 ，夹角比 增大 2 2 r
了，根据剪应变的定义，即发生了剪应变 所多出项的几何意义。
r

v r
，这就说明了
与 80%不相等。
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§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 真实应变(对数应变)
工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值。
ln
l1 l0
对数应变之所以是真实的就是因为它是某瞬时尺寸的无限小增量 与该瞬时尺寸比值（即应变增量）的积分： l1 dl l1 ln l 0 ln l l0 条件与困难：积分是在应变主轴方向基本不变的情况下才能进行。

2


3


4
- 1） （
( n 1 )


n

2
3
4
n
当
<1时，该级数收敛，忽略三次方项，

2
真实应变与名义应变之差为
2
两者绝对误差小于0.005，
相对误差小于5％，这时可以认为 。

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80
dl l

50

90
dl l
ln
90 50
0 . 59
80
分阶段变形之真实应变之和等于总的真实应变
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§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
当应变量不大时，名义应变它与真实应变相差不多。
w 1 f ( x dx , y , z ) w
w x
dx
A点过渡到B点时， 位移由于x的变化而变化，
点 B 与点 A 沿z轴方向位移之差为
B B w 1 w w x dx
w B B A B x dx
dx dx
w x u 1 x
2.2.3 应变与位移的关系―― 柱坐标的变形几何方程
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
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§2-3 主应变
2.3.1 主应变 2.3.2 应变张量 2.3.3 位移张量
2.3.4 主应变与应变张量不变量
§2-4 应变偏量、球形应变张量以及有关应变参量
r z
zr
v r

1 u r v z

1 w r w r

u z
v r
(2-10)
式中u、v、w―分别为径向( r )、环向( )及高度方向(z)的位移分量 。 r , , z ――分别为 r 方向、 方向和z方向的正应变；
特点：真实地反映变形的积累过程，具有可叠加性。
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§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
ln
l1 l0 ln l0 l l0 ln( 1 l l0 ) ln( 1 )
u z
在xOz平面内相对剪应变

zx
可以得到 xOz和yOz平面内的剪应变为
xy

u z

w x ，


u y

v x
，

yz

v z

w y
(2-8)
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 用位移表示应变的几何关系式――柯西(Cauchy)几何关系为
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 线应变
如用 x 表示沿x轴的相对伸长，则有
x
u1 u dx

u x
用同样方法可以得到平行于y轴和z轴边长的相对伸长为
y
v y
，
z
w z
(2-7)
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各个阶段应变之和。
将50cm长的杆料拉长至总长为90cm， 总应变为，
90 50 50 80 %
若由50cm→80cm→90cm，则
1
80 50 50 60%
， 2
90 80 80
12 . 5 %
，
总应变量： 1 2 ( 60 12 . 5 )%， 72 . 5 %