学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．圆周角的概念：【例1】如图，∠BAC是圆周角的是（）变式：1、如图，图中哪些角是圆周角，哪些不是圆周角？请说明理由。
圆周角定理：【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D等于（）【例2-2】已知圆中一条弦的长度等于它的半径，求此弦所对圆周角的度数。
2，则⊙O的半径为（）变式：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=33和，求弧BC的度数。
2、已知半径为1的圆中，弦AB，AC的长分别为2圆周角定理的推论【例3-1】如图，AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到点C，使AC=AB，BD与CD的长度关系？为什么？变式：1、如图，点D是弧AC的中点，图中与∠ABD相等的角的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，A,B,C,D是圆O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？【例3-2】如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A.55°B.60° C 65° D 70°变式：1、如图，△ABC内接于圆O，AB=8，AC=4,D是AB边上的一点，P是弧BAC的中点，连接PA,PB,PC,PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形，请给出证明。
2、如图，圆O的直径AB长为6，弦AC长为2,∠ACB的平分线交圆O于点D，求四边形ADBC的面积。
【专题训练】与圆周角知识有关的实际问题【例1】如图，量角器的直径与直角三角形板ABC的斜边AB重合，期中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒，点E在量角器上经过的弧的度数是___________.与全等三角形有关问题【例2】如图，已知点A,B,C,D顺次在圆O上，弧AB=弧BD，BM⊥AC于点M，求证：AM=CD+CM圆周角定理及推论的应用【例3】如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D,E,(1)求证：△ODE为等边三角形(2)如图2，∠A=60°，AB不等于AC，则上题的结论是否仍然成立？如果成立，请写写出证明过程；如果不成立，请说明理由。
与圆周角有关的新题型【例4】如图，四边形ABCD的四个顶点均在圆O上，且AB是圆O的直径，OD⊥BC于E。
（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．【举一反三】1-1、一个圆形人工湖如图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长AB=100m，测得圆周角ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）1-2、某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图1所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和A，B两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图2所示的一个圆环．请你利用三角板和铅笔确定这个圆环的圆心．（在图2上作出圆心，并作必要的文字说明）2、如图，在△ABC中，AC>BC,点A,B,C在圆O上，M是圆O上包含C点的弧AB的中点，点X在AC上，且MX⊥AC，求证：AX=BC+CX3、如图，△ABC内接于圆O，角BAC=60°，点D是弧BC的中点，BC,AB边上的高AE,CF相交于点H;求证：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形。
4、如图，AB为半圆O的直径，B1，B2，…，B k是半圆上的k个点，满足BB1=B1B2=…B k-1B k，对于线段OB1，OB2，…，OB k，AB1，AB2，…，AB k，（1）当k=4时，有______对互相平行的线段；（2）当k取任意大于1的整数时，试探索这2k条线段中有多少对互相平行的线段，直接写出你的结论：【课堂基础巩固】圆周角的定义及其定理1、如图所示，其中∠x是圆周角的是（）2、如图，圆O为△ABC的外接圆，其中D点在弧AC上，且OD⊥AC，已知∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为（）3、如图，CD是圆O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=____________。
4、如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A,B两点，交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内圆O上的一点，若∠BDA=20°，则∠OCD=____________5、如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是_________________。
6、如图，AB是圆O的一条弦，OD⊥AB,垂足为C，交圆O于点D，点E在圆O上，（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数。
（2）若OC=3，AB=8，求圆O直径的长。
7、如图，点A,B,C,D都在圆O上，OC⊥AB，∠ADC=30°。
（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形。
【能力提升训练】1、如图，OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的度数为（）2，则∠BAC_______________。
2、点A,B,C在半径为2cm的圆O上，若BC=33、如图，点D为AC上一点，点O为AB上一点，AD=DO，以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连结EF，若∠BAC=22°，能否求出∠EFG的度数，请说明理由？4、如图，在Rt△ABC中，D为斜边BC的中点，过点D作EF⊥BC，且是D为EF的中点，EF=BC，求证：∠BAE=EAC=CAF.5、如图，AD是圆O的直径。
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是____，∠B2的度数是____；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n C n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n 的度数（只需直接写出答案）6、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0），点C是y轴上一个动点。
当∠BCA=45°，点C的坐标是_____________【圆周角定理的推论专题】基础巩固1、如图，AB是圆O的直径，AB⊥于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD的度数为（）2、如图，圆C过原点，且与坐标轴分别交于点A,点B，点A坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则圆C的半径为（）3、如图，弦AB，CD相交于点O，连结AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是____________。
4、如图，若AB是圆O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=____________cm。
5、如图，△ABC内接于圆O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为圆O的直径，AD=6，则DC=_______________。
6、如图，A,P,B,C是半径为8的圆O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD。
7、（一题多解）如图，BC是圆O的直径，AD⊥BC于点D,弧AB=弧AF，BF和AD交于点E，证明：AE=BE.8、（探究题）如图，AB是圆O的直径，（1）若OD∥AC，弧CD与弧BD有什么关系？说明理由；（2）把（1）中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由。
9、如图，圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，D是圆O上的一点，OD⊥AC，垂足为E，连结BD。
（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD。
【能力提升训练】1、如图AB,是圆O的直径，点C,D,E都在圆O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B=__________________。
2、如图（1），在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图（2）中的A，B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？（通过尺规作图说明原因）3、如图所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过圆心O作OD⊥AC，D为垂足，E是BC上一点，G是DE的重点，OG的延长线交BC于F。
（1）图中线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；（2）猜想线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程。
4、如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．5、如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由6、如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．7、阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．8、如图所示，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，⊙E过点O．与x轴、y轴分别交于B、A两点，点E坐标为（﹣2，2）F为弧A0的中点．点B，D关于F点成中心对称．（1）求点c的坐标；（2）点P从B点开始在折线段B﹣A﹣D上运动：点Q从B点开始在射线B0上运动，两点的运动速度均为2个长度单位每秒，设运动时间为t．△POQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，若y=S ABCD，求直线PQ与⊙E相交所得的弦长．。